高中数学变式教学要有丰富的内涵和外延

殷大侨

[摘  要] 在高中数学变式教学中，如果变式的内涵和外延足够丰富，那么学生更易于接受和掌握，更容易达到预期教学效果.

[关键词] 数学教学;变式教学;内涵和外延

变式教学是应用变式进行教学，通过改变问题的条件或创设情境，让学生在比较中看透问题的本质，或者掌握方法的迁移.变式教学是一种常用和实用的教学方式，许多教师在教学中都用到了这种教学方式，但得不到预期的教学效果，特别是接受稍慢的学生，仍然不能完全理解，那么原因是什么呢？

笔者也常常运用变式进行教学，发现如果给出的变式内涵和外延足够丰富，那么学生是能踩着“脚手架”，够着问题的本质的. 下面通过两个例子来说明.

深化概念的内涵

在数学教学中，常常会遇到一些比较抽象的数学概念，比如函数的定义等，如何准确理解这些概念，界定其范围，称为深化概念的内涵.

教材中给出了函数的定义：设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f（x），x∈A.

这个概念比较抽象，特别是对于高一的新生，难以理解，那么在教学中我们该如何设计，才能使学生比较容易接受呢？这里应用变式教学分析函数的核心概念：“对应关系”.

函数的对应关系是指“对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应”，这句话初看起来很好理解，但要准确把握其界限却十分困难.我们可以从四个方面进行理解：（1）“一对一”是函数关系，即集合A中的元素与集合B中的元素一一对应;（2）“多对一”也是函数关系，即集合A中的多个元素可以与集合B中的一个元素对应;（3）集合A中没有“多余”元素，即集合A中的每一个元素在集合B中都有元素与之对应;（4）集合B中可以有“多余”元素.在教学中，围绕这四个方面，用不同的形式引入例题，给出丰富的变式.

形式1：韦恩图. 图1即为典型的“一对一”;如果在集合B中再添加若干个元素（图2），那么也满足函数的对应关系，即“集合B中可以有多余元素”;但是如果在集合A中添加一个元素，但在集合B中没有元素与之对应（图3），那么就不是函数的对应关系了，即“集合A中有多余元素”.

形式2：图像. 图4的曲线为“一对多”的情况，不满足函数的对应关系;图5为“多对一”的情况，满足函数的对应关系，“集合A中可以存着几个元素对应集合B中同一个元素”.

形式3：解析式. 解析式①的集合A中有多余元素“1”，不满足函数对应关系;解析式②满足函数对应关系，因为集合A中的“1”在集合B中有“0”与之对应，另外在这个解析式中存在“一对一”和“多对一”两种对应关系.

①A=N，B=N*，f：x→y=x-1;

②A=N，B=N，f：x→y=x-1.

通过上述表现形式，直观形象地“描绘”出了函数的对应关系，变抽象为具体，再通过正反对比，清晰地界定了概念的内涵，使学生对这一概念得到了深刻的理解，同时也丰富了数学语言（图形、符号等），疏通了理解的“外围”障碍.

当然，要完整地理解函数的概念，还可以增加“为什么要引入集合”等问题，可从函数的发展史上讲述数学家是怎样一步一步地提炼概念的，教育学生无论是数学定义，还是定理、公式，都不是一蹴而就，而是逐渐积累、慢慢发现的，引导学生耐心细致地探索问题.

扩展方法的外延

在高中数学教学中，除了数学概念，还有数学方法.不少学生仅仅掌握特定的某种题型的解法，而不会“推而广之”，关键是数学方法的外延不够丰富，即将这种数学方法推广应用到更多的题型.

比如用待定系数法构造数列，求解数列的通项公式，例如，数列{a }满足：a =2a +1，a =1，求数列{a }的通项公式.

这道题属于简单的常系数数列递推公式，其通项的求法可以通过待定系数法推出.在递推式a =2a +1两边同时加1，得到a +1=2（a +1），则数列{a +1}为等比数列，公比为2，所以通项a +1=（a +1）·2n-1，即a =2n-1.

实际上，形如a =pa +q（其中p，q均为常数，pq（p-1）≠0）的递推式，都可以通过这种方式求得：在原递推公式两边同时加上某个常数，使其构成等比数列，即an+1+k=p（a +k），展开后对照系数，不难解出k= ，所以数列a + 是首项为a + ，公比为p的等比数列，.

仅仅掌握这类题是不够的，学生并没有理解待定系数法求通项的本质，比如将上述递推式中的“1”变成“3n”，如何求数列的通项公式呢？不少学生就不会变形了，所以在讲述这类问题时，还需要把待定系数法进行推广，打开学生的思维，不能让学生对问题的思考停留在一个狭窄的空间.

教学中，可以补充形如“（1）a =3a +n+1，a =1;（2）a =3a +2n，a =1”等类型的递推. 具体解法如下：

（1）因为递推式a =3a +n+1的右边增加了一个一次式，所以在a =3a +n+1两边配凑一个一次式，构成一个等比数列，即a +k（n+1）+b=3（a +kn+b），特别注意，左边是k（n+1）+b，右边是kn+b.展开后对照系数，不难得到k= ，b= ，所以a + （n+1）+ =3a + n+ ，则 a + n+ 是等比数列，公比为3. 所以a + n+ =a + + ·3 ，所以a = - n- .

（2）因为递推式a =3a +2n的右边为指数式，所以在递推式a =3a +2n的两边同时加上一个底数为2的指数式，使其构成一个等比数列，即a +k·2n=3（a +k·2n-1），注意左边是k·2n，右边是k·2n-1. 展开后对比系数，不难得到k=2，所以a +2·2n=3（a +2·2n-1），即{a +2·2n}是公比为3的等比数列，所以a +2n+1=（a +22）·3n-1，故a =5·3n-1-2n+1.

通过对比，学生不难总结出待定系数法适用于a =pa +f（n）（其中p为常数，f（n）可为常数、一次式、指数式等）的递推式，那么学生会问： p不是常数，比如是n，可以用待定系数法吗？f（n）可以是其他形式吗？学生自己会照着上述方法进行推导，于是“自然而然”地就掌握好了这一方法.作为检测，可以让学生练习：数列{a }满足a =2a +3n+1，a =1，求数列{a }的通项公式. 由此检验学生对此方法是否熟练掌握.

在教学中，适当地改变题型的部分条件，增加“同构”问题的研究，使该数学方法的外延得到扩展，既可活跃学生的思维，让他们有更多的“动手动脑”体会，又可使他们深刻掌握数学方法的本质.

变式教学要有丰富的内涵和外延

變式教学着眼于学生的最近发展区，通过搭建“脚手架”，让学生理解数学概念，掌握数学方法. 但是如果概念的内涵和方法的外延不够丰富，学生仍然理解不透，掌握不了，犹如在浮沙上筑高台.特别是新知识，学生一开始就有畏惧或谨慎心理，这也符合人的认知规律，所以在教学中需要丰富的内涵和外延，让学生“看到”“体会到”问题的本质，有了这些间接经验，学生才能大胆尝试，学生尝试了，他们才能真正学会，才能达成预期的教学效果.