在高中数学教学中培养学生的直觉思维的策略方法

沙志峰

[摘  要] 对于学生而言，直觉思维是其数学思维中需要具备的重要思维方法之一，既能反映学生对数学问题的敏锐度，又决定解题的效率和思维的深度. 因此，研究者认为，在教学过程中教师要一以贯之地强调和渗透直觉思维，文章结合几个具体例题介绍了培养直觉思维的策略.

[关键词] 直觉思维;课堂教学;培养

钱学森教授曾这样评价直觉思维：直觉就是一种无意识的信息加强活动，是根植于潜意识内的一种酝酿解决问题与显性意识的沟通，这样的沟通使得答案的获取显得突然，却未曾意識到对应的具体进程. 这番话不仅是对数学直觉思维的完美诠释，同时从中映射出直觉思维对数学学习的重要意义. 我们可以认为，直觉是有效沟通了数学知识和思维，从而迅速找寻到解题途径的一种思维形式，因此，直觉思维的培养是大有益处的，身为一线的数学教师应当关注并一以贯之地加以培养. 下面，笔者就结合具体的课例，谈谈对直觉思维培养的观点和思考.

牢固的“双基”是产生直觉的前提

直觉的获得并非仅仅是运气和机遇，也不是自动产生的，更不是凭空臆想而成的，它的形成有赖于许多因素. 总体来说分为主观与客观两个方面，学生的主观因素和牢固的“双基”对直觉思维的产生都有着重要的影响. 可以这样说，扎实的知识技能和深厚的数学功底是迸射思维火花的重要因素. 因此，教师应让学生自发自主地获取知识，放手让学生自主学习、自主探究、尝试、质疑、猜想、讨论、练习、归纳和反思，在重难点形成之处积极启导，在概括规律时充分诱导，在解决疑难问题中有效疏导，保证双基的落实，进而孕育直觉思维.

例1：已知sinα+sinβ= ①，cosα+cosβ= ②，据此可以得出哪些结论？

分析：本题的特色明显，形式创新. 命题人从基本知识技能和学生的思维出发进行考量，从而巧妙编制出这样一道考查双基和直觉思维的试题. 想要创意性解决这一问题需要学生准确理解和熟练掌握三角基本知识，学生经过思考后易生成以下方法.

探究1：①2+②2，可得cos（α-β）= - . （余弦公式）

探究2：先①×②，再和差化积，可得sin（α+β）[cos（α-β）+1]= . 再沟通探究1，可得sin（α+β）= .

探究3：先①2-②2，再和差化积，可得2cos（α+β）[cos（α-β）+1]=- . 再沟通探究1，可得cos（α+β）=- .

探究4：先①÷②，再和差化积，进而约去公因式，可得tan = . 后利用万能公式探求sin（α+β），cos（α+β）和tan（α+β）.

探究5：利用消参思想，先由sin2α+cos2α=1消去α，可得4sinβ+3cosβ= ;再消去β，可得4sinα+3cosα= .

探究6：①+②，再逆用两角和的正弦公式，可得sinα+ +sinβ+ = ;①-②，再逆用两角差的正弦公式，可得sinα- +sinβ- = .

探究7：①×3-②×4，可得3sinα-4cosα+3sinβ-4cosβ=0，sin（α-θ）+sin（β-θ）=0θ=arctan ，即2sin cos =0，所以α=2kπ+π+β（与条件不符，舍去）或α+β=2kπ+2θ（k∈Z），即可探求sin（α+β），cos（α+β）和tan（α+β）.

评析：对于学生而言，试题质量的高低意义深远，不仅影响着解题的兴趣，还关乎着思维火花的唤醒. 本题是一道创新问题，由于教师对有价值素材的精心选取，让原本枯燥的数学问题变得充满活力，不仅可以让学生感受到三角问题的强大魅力，还可以通过充分的直觉思维去探索其中蕴含的各种数学魅力. 由于本题的开放性和创新性较为明显，充分体现了对学生直觉思维的考查，这无疑遵循了对优质素材的选取.

注重直觉的诱导是产生直觉的基础

“跟着感觉走”是不少教师的经典语录，事实上，其中深层次地蕴含着直觉的孕育，而仅仅是未上升至思维的层面而已. 因此，教师应在课堂中“冠冕堂皇”地提出直觉思维，并关注到直觉的诱导，设计与之相应的活动，制定相应的活动策略，让学生去摸索、去探究、去验证、去反思. 同时，不可忽视对思维的合理之处给予及时的鼓励，对学生的疑难之处及时因势利导，就这样，在尊重和爱护中扶植直觉思维，让学生对自身的直觉产生成功的愉悦感.

例2：已知正四面体ABCD的棱长是1，且棱AB∥平面α，则该正四面体上的所有点在平面α内的射影构成的图形面积的取值范围是________.

分析：本题是一次模拟考试中的试题，由于考试的时间有限，严密逻辑推理下得出答案耗时巨大，且不易成功. 此时，倘若在长期的直觉思维诱导下，学生即可凭直觉进行如下思考：如图1，直觉可以判断出CD∥α时，射影面积最大;CD⊥α时，射影面积最小. 最终易得出取值范围为 ， .

评析：为了学生在解题时能善用直觉思维，在平时的教学则需要积极诱导. 当然，在教学中不仅需要强调思维的跨越性，也不应忽视思维的严密性，即不仅要重视数学直觉，还要关注数学逻辑思维，从而在解题时能迅速直觉判断，合理思维.

鼓励大胆猜想是产生直觉的关键

直觉思维是基于人的已有经验的，广博的知识和创新意识是联想和猜想的基石. 爱因斯坦也正是由于敢于质疑和大胆猜想的精神，打破了“时间的同一性”这被人们视为不可更改的真理，提出了意义深远的相对论. 由此可见，大胆猜想可以发现前人没有发现的问题，在创新中发展直觉思维. 因此，除去基础知识的夯实之外，还需鼓励学生大胆猜想，实现学习的创新和思维的创造.

例3：设m≤ （a，b，c，d∈R ），试求出m的最大值.

分析：仔细分析分式 的结构特征，一些学生易猜想出最值很大可能是在a=d，b=c时取得的，原因在于这两对元素的地位相同，无论如何互换，结果都不会改变. 正是有了这样的猜想，问题即可转化为求 的最大值，进一步转化为求 = 的最大值，最终以换元法或是导数法即可探求得出最大值 -1.

评析：本题的解题方法在近年来的最值问题中应属于创新思维，学生正是有了坚实的基础和勇于创新的精神，才能敢于猜想，形成解题思路. 这样的解题过程不仅训练了学生的数学直觉，还增加了学生的思维厚度，从而赋予了其更好的评价功能.

丰富的解题教学是产生直觉的保障

丰富的解题活动可以锻炼和发展思维，这是毋庸置疑的. 教学中，教师不妨展开对数学问题的研究，让解题活动更好地为学生思维的发展助力. 例如，选择题由于只需要从4个备选答案中选择正确答案，而不需要解题过程，显然这里是允许有合理猜想的. 又如，开放性问题可以从各个角度提出猜想，自然利于直觉思维的开发. 因此，教师可以选择适宜直觉思维的题型，力求将题目中的思维容量得以延续，同时在解题过程中明确提出直觉思维，制定与之对应的活动方法，这样一来，则可以充分发挥其潜在的功能，培养和考查学生的直觉思维能力.

例4：已知实数a和b分别满足a3-3a2+5a=1，b3-3b2+5b=5，则a+b的值是______.

分析：例4是一道探究问题，若以函数的思路为探究主线，则根本无法解决根的问题，而倘若仔细观察两个等式，即可发现它们有着相同的结构，再以构造函数为突破口，将已知等式转化为（a-1）3+2（a-1）=-2，（b-1）3+2（b-1）=2，即可构造一个单调递增函数f（x）=x3+2x. 因为f（a-1）=-2，f（b-1）=2，所以f（a-1）= -f（b-1）=f（1-b），所以a-1=1-b，a+b=2.

评析：每一类题型都有着其特定的特征和常规的解法，但教学中教师不仅要渗透一般解法，更重要的是去启发和引导学生全面而富有个性地分析条件和问题中的关联，探寻解题捷径. 这样，不仅有助于解题思路的扩展，还有助于直觉思维的启发，同时有助于在高效的解题活动中达到思维的生长.

总之，直觉思维作为一种瞬间思维，是逻辑思维的凝结和跃进，而培养直觉思维是一门高深的教学艺术. 可见，这方面的教学技艺对于一线教师来说，体现了把握教学标准的能力和教学智慧. 因此，在教学过程中，教师要一以贯之地强调和渗透，引导学生打破思维定式，并避免思維的狭隘性，全面引导学生有效沟通逻辑思维和直觉思维，并进行高效的数学思考，进而培育学生的整体思维品质，促进直觉思维的超长性发挥.