万变不离其宗，以不变应万变

毕美好

[摘  要] 新课程理念下，高三复习的主旋律是“优效教学、减轻学生负担”. 变式题组的教学能优化复习、提升教学效率. 文章主要探讨了三种变式教学：对比性变式有的放矢，突破知识易错点效果立竿见影;强化性变式熟能生巧，有效提升熟练度;开放性变式拓展创新，提高学生思维的灵活性.

[关键词] 变式;高三复习;优化;数列;通项

新课程理念下，高三复习课不搞“题海战术”，而是精选题、巧设计、精讲题，以少胜多. 尽管高考的题目形式上是变化多端的，但其考点是明确的，有既定法则——通性通法可寻的. “万变不离其宗”，只要我们帮助学生练就一双“慧眼”，识破其“宗”，便能“以不变应万变”，笑傲于“高考”这个变幻莫测的“江湖”了.

变式题组的教学就是能帮助学生识破“宗”的有效教学策略. 教师在教学时，采用科学合理的手段，从不同的角度、层次、背景对知识点的非本质条件进行变换，保留其本质、宗旨不变，揭示不同知识点的内在联系，使学生抓住问题本质这个不变的关键，提高课堂教学效率. 针对不同的教学效果有不同的变式方式对应，对比性变式能很好地突破学生的易错点，纠正学生的潜意识错误;强化性式变式有利于学生认清并掌握一类题型;开放性变式有利于学生知识方法的拓展和迁移，梳理知识网络的同时提升学生分析、解决问题的能力.

对比性变式有的放矢，以柔克刚

对比性变式突出差异，在学生的易混淆不清的概念、法则等知识点处命制变式题组，通过学生的碰错、质疑、对比辨析、归纳总结，抓住不同概念、法则的本质，区分好易错的知识点. 这样的变式题组设计犹如“化骨绵掌”，以柔克刚，轻松击中学生要害，使学生险处求生、印象深刻. 对比性变式能避免学生思维过于单一，教学效果立竿见影.

案例1：已知数列{a }中，当n≥2时，a -a =3，a =-2，a =________.

变式1：数列{a }中，a -a =n，a =-2，a =________.

变式2：若b -b =2，b1=3，bn=_____.

变式3：若数列{a }各项为正数，且a =4， =2（n≥2，n∈N*），则a =________.

学生对于等差数列定义“从第二项起，后项与前一项的差是同一个常数”中的“常数”及“后项、前一项的结构特征”理解不好，容易出现学生犯错的借口“眼盲”，其实就是他们思维盲目，缺乏对概念的消化.

变式1针对定义中的“常数”理解进行设计，帮助学生理解带有项数n这个变量就不符合定义中“常数”的要求了;变式2、3则是针对定义中“后项、前一项的结构特征”进行设计，后项f（n）可以是b ， +3等与n有关的式子，前一项f（n-1）则是用n-1代入f（n）中的n，满足式子结构即可. 在此基础上，教师可以让学生进一步举例，从而归纳出：尽管其形式千变万化，但不变的是其本质，若f（n）-f（n-1）=常数（n≥2），则{f（n）}是等差数列. 此时，等比数列的本质定义学生也能脱口而出了.

案例2：已知数列{a }的前n项和S =n2+n+3，求a .

变式：已知数列{a }的前n项和S =n2+n，求a .

此题组考查“利用Sn与a 的关系求通项”，学生不陌生，但容易漏了“求首项及检验”环节，设计这样的对比变式题组，使学生关注“首项、结果a 是否分段”两个易错点. 此题组还能提炼出：前n项和是无常数项的二次函数？圳数列为等差数列（d≠0），a 是一次函数;前n项和是有常数项的二次函数？圳数列不是等差数列，a 是分段函数.

强化性變式熟能生巧，巧能生慧

学生经常感到很迷惑：“老师上课讲的我都听明白了，但课后自己做又不懂了.”究其原因，是学生理不清在什么特定条件下采用什么解决办法，即对不同类型题目的本质特点不能熟练掌握. 一节课的时间短，要提升学生的熟练度，巧妙解答，强化性变式非常适用. 教师局部调整问题的构成要素，使问题虽形式多样，但解题方法类似，通过这样的强化训练，促使学生熟练掌握特定的解法，遇到此类题目能快速巧妙地完成解答，并逐渐编好数学方法这张网.

案例3：已知数列{a }中，a =1，a =a +2n，求a .

变式1：已知a -a =3n+1，a =1，求a

变式2：已知a =a + （n≥2），a =1，求a .

变式3：已知a -a =ln （n≥2），a =1，求a

学生不难接受累加法求通项，但学生不能熟练地运用，究其原因，是学生对其形式见得少，强化训练不够，不能形成条件反射. 通过上述变式题组训练，使学生熟能生巧，巧能生慧，抓住累加法求通项的精髓：后项与前一项的差是一个可求和的式子，即a -a =g（n），g（n）是可求和的式子，用累加法. 有了这样的认识，学生易知累积法求通项的本质.

案例4：已知数列{a }的前n项和S =3-3×2n，n∈N*，a =________.

变式1：S 为数列{a }的前n项和，已知a >0，a +2a =4S +3，求{a }的通项公式.

变式2：若数列{a }满足：a +3a +5a +…+（2n-1）·a =（n-1）·3n+1+3（n∈N*），则数列{a }的通项公式a =________.

学生对于“利用S 与a 关系求通项”这个方法不陌生，知道a =S ，n=1，S -S ，n≥2，但是辨不清什么时候用. 上述例题，S 给出了具体的形式，学生很容易按照公式求出a . 对于变式1开始有点无所适从了，更难看出变式2其实与例题是一样题型的题目了. 其实变式1是S 的抽象形式，变式2中“a +3a +5a +…+（2n-1）·a ”就是“S ”这个“和”的形式，只是它不是{a }的前n项和，而是{（2n-1）·a }的前n项和，但采用的解决方法是一样的，因为它也是“和与项的关系”的题型. 通过设计层次递进的强化性变式题组，强化利用S 与a 关系求通项这个方法，使学生抓住问题的共同属性，用相同的方法解决，以不变应万变.

开放性变式拓展创新，常胜不败

开放性变式指的是从一个题目出发，通过改变题目中的条件、结论，从而使题型得到深化或延伸. 一种利用同一个知识点解决难度不同的问题，或含参待讨论，或舍弃中间提示环节直奔主题等等;另一种是找到不同题目之间的潜在联系，或方法相似或结构相似等. 通过深化、延伸，从一类题目转变成多种类型的题目，从而逐渐形成一个系统、完整的知识体系.

案例5：已知数列{a }的前n项和为S ，a =1，S =2a ，求a .

变式1：已知数列{a }的前n项和S =1+λa ，其中λ≠0，证明：{a }是等比数列，并求其通项公式.

变式2：已知数列{a }的前n项积为n2，那么当n≥2时，a 等于（    ）

A. 2n-1 B. n2

C.  D.

变式1是例题的深化，考查与例题相同的知识点a =S ，n=1，S -S ，n≥2，但变式1含有参数λ，解答过程涉及对λ取值的分析讨论，对学生来说是很大的挑战，不能与例题相提并论. 变式2改变条件由前n项“和”变为“积”，是不同类型的题目，但是它们两者又有潜在联系，容易实现迁移，方法上由“作差”变为“作商”即可解决. 开放性变式题组旨在提高学生的综合实践能力和知识迁移能力，这是学生灵活创新、常胜不败的能力.

案例6：已知数列{a }满足a =1，a =3a +1，证明：a + 是等比数列，并求{a }的通项公式.

变式1：设数列{a }满足：a =1，a =3a +2，求数列{a }的通项公式.

变式2：在数列{a }中，a =1，a =3a +n，求数列{a }的通项公式.

变式3：已知数列{a }中，a =1，a =3a +2n，求数列{a }的通项公式.

变式4：已知数列{a }中，a =1，a =2a +2n，求数列{a }的通项公式.

例题是定义法求通项，为变式1搭建了“脚手架”，指引变式1改变递推关系式的结构，使其能构造出公比为3的等比数列，通过拆分“2”，满足“a +A=3（a +A）”，然后用待定系数法求“A”. 变式2、3与变式1形式相似，引导学生参考变式1的解法进行方法迁移，把“n”“2n”进行拆分，构造公比为3的等比数列，同样是用待定系数法去解决，但难度较变式1大，等比数列的前后项形式的变化的把握是难点，是不同于变式1但又有联系的题型. 对于变式4，学生基本会参考前面三个变式的解法用待定系数法构造等比数列，碰壁后在老师的帮助下梳理出“a =pa +qn”型的通性通法应该是同除以“qn+1”后回归到变式1的题型. 通过开放性变式题组可以实现知识整合、知识梳理，优化了课堂的教学，提高了高三的复习效率.

荀子曰：“千举万变，其道一也. ”庄子曰：“不离于宗，谓之天人. ”这两句名言都是说某些事物尽管形式上变化多端，其本质或目的是不变的. 在数学教学上亦是如此，教师应抓住问题本质，精选题、巧设计，利用对比性变式突破易错点;利用強化性变式巩固题型解法，提升知识熟练度;利用开放性变式梳理知识网络，培养思维灵活度，帮助学生解决千变万化的问题，以不变应万变.