高中数学教学中数学建模与数学实验关系研究

高羽

[摘  要] 《普通高中数学课程标准（2017年版）》明确了数学学科核心素养的概念，并且将其划分为了六个要素. 数学建模是其中一个较为核心的要素，如何有效地引导学生进行数学建模，自然也就成了数学学科核心素养落地无法回避的一个问题. 数学将数学建模与数学实验衔接在一起，运用数学思维和数学工具是两者相通的地方. 正是这个相通的地方，使得数学实验与数学建模之间存在着密切的联系. 通过数学实验来演绎数学概念或者规律的得出过程，往往也就与数学建模衔接在一起，于是数学实验与数学建模就呈现出了一个良好的融合样态，从而就能够为包括数学建模在内的所有数学学科核心素养的培育提供非常有益的思考.

[关键词] 高中数学;数学建模;数学实验

纵观高中数学教学的发展历程，可以发现其中的挑战是很多的，而数学教学的发展也正是在不断地面对挑战的过程中发生的. 今天的高中数学教学面临着核心素养培育这样一个重要的主题，如何让核心素养在数学学科教学中有效落地？对于这个问题的回答，《普通高中数学课程标准（2017年版）》明确了数学学科核心素养的概念，并且将其划分为了六个要素. 在这六个要素当中，数学建模在笔者看来是其中一个较为核心的要素，因为它的综合性非常强，会涉及其他五个要素中的若干个，如何有效地引导学生进行数学建模，自然也就成了数学学科核心素养落地无法回避的一个问题. 对于这个问题的解决，笔者的观点是要寻找到有效的教学途径，而这里所说的有效，显然是针对学生而言的，只有学生学习过程有效，才能保证数学建模路径有效. 应当说在传统的高中数学教学中，教师的教与学生的学进行得都不是很轻松，有一位教师打了一个比方：现在很普遍的一种教育方式，是将学生当作“终端”，老师不断通过“键盘”向这个“终端”输入知识，也不管它的“内存”是否无穷大. 学生遇到一个问题就开始“扫描”，如果正好扫描到这个问题的答案，马上就将答案输出. 这里所说的是教学方式的影响，同时也是对学生学习过程的一个真实描述，要改变这一现状，关键就在于改变学生的学习方式，于是数学实验就成了笔者思考的一个重要内容.

笔者认为，数学建模与数学实验是存在着密切关系的，理解这个关系，并积极运用与实践，可以很好地培养学生的数学建模素养.

高中数学教学中数学建模与数学实验的理论关系

从理论的角度来看，高中数学教学中数学建模与数学实验的关系，首先需要对两者分解开来理解. 所谓数学建模，就是将现实问题经过量的抽象转化为数学问题的过程. 毫无疑问，数学建模的核心步骤是建模，数学模型的求解隶属于数学而非数学建模，数学建模的核心工具是数学. 这样的判断当中，有一个重要的观点就是：只有运用数学这一核心工具去进行建模，才是数学建模.

那什么又是数学实验呢？传统认为数学实验就是以计算机为实验工具，运用数学思维进行实验的过程;今天的数学实验，尤其是中学数学教学事业下的数学实验，已经不局限于计算机工具的使用，更多的是运用具有数学特征（表现为形或数）的器材进行实验的过程. 数学实验的直接目的是促进学生的数学体验，并让学生在数学体验的过程当中积极思维.

综合以上两个判断可以看出，“数学”将数学建模与数学实验衔接在一起，运用数学思维和数学工具是两者相通的地方. 正是这个相通的地方，使得数学实验与数学建模之间存在着密切的联系. 具体阐述如下：

数学建模的两端是现实问题和数学问题，基于现实问题进行数学抽象等，使其转变为数学问题;数学问题的解决需要选择数学模型，在这个过程中需要数学建模工具，主要依赖于学生的数学思维（计算机运用可以辅助学生建立数学思维）. 在学生建立数学模型的过程中，教师需要注意给学生设计一个简约而不简单的情境，笔者以为数学实验就是这样的情境. 高中数学实验主要强调学生的体验（不需要学生撰写实验报告），体验的过程当中，学生需要操作与思考——运用数学思维，这样的实验过程中，包含在实物操作过程中的数学元素齐全，学生有较大的数学建模空间，数学实验就可以成为数学建模的重要载体.

高中数学教学中数学建模与数学实验的实践案例

上面已经提及，数学教学中的数学实验，就是从给定的实际问题出发，借助计算机和数学软件，让学生在数字化的实验中去学习和探索，并通过自己设计和动手，去体验问题解决的教学活动过程. 而且特别强调，教学视野下的数学实验可以更多地依赖于实物，这样学生的操作有载体，思维有所依，数学建模的过程就可以在这个过程中展开.

例如，在“直线的方程”这一内容的教学中，笔者注意到学生已经具有了在直角坐标系中确定一条直线的几何要素这些知识基础，而此前学生在数学学习中也知道“两点可以确定一条直线”，那么在学习直线的方程的时候，基于数学知识演绎的逻辑，一般来讲没有太大的问题. 但是要注意的是，直線的方程本身是数形结合的产物，用方程去描述直线，对学生来说是一个相对较为新鲜的事物. 学习中学生虽然已经有了初步接触，但是在一个平面直角坐标系中，明确用方程来描述直线却不多见. 因此教师在此处的教学定位，应当是把直线的方程式做一个数学模型，让学生在模型建立的过程中，一方面感悟直线的方程的数学意味，另一方面领略直线的方程的模型意味. 具体教学设计可以分成这样两步：

第一步，设计问题情境. 例如，让学生观察平面直角坐标系中的点，坐标为（x ，y ）;给出直线的斜率是k，然后让学生根据斜率公式寻找等量关系. 在这个过程中，学生根据已经学过的知识，一般都可以通过另设一点，坐标为（x，y），然后基于斜率公式得出k= ，即y-y =k（x-x ）.

第二步，设计数学实验. 根据笔者的实践，以及在实践过程中积累出来的经验，在上述过程中，虽然学生能够理解逻辑，接受结果，但是这个时候直线的点斜式方程在学生的大脑当中是非常抽象的，如果不能让学生有形象化的理解，那么相当一部分学生就会在这个知识的学习中形成隐患，从而不利于后面知识的学习. 那么设计一个什么样的数学实验可以深化学生对点斜式方程的形象理解呢？笔者的做法是：将“点”与“斜率”形象化，一个简单的做法就是用笔表示一根直线，并思考两种情形，一种情形是笔的一端不动，代表着经过一个固定的点，然后改变倾斜程度，表示斜率不同;另一种情形是笔的倾斜程度不变，然后上下左右平移，表示斜率不变，而经过的点发生了改变. 这样学生大脑当中就有了比较形象的“点”“斜”认识. 在此基础上再引导学生思考：要描述上述变化，点斜式方程有什么样的好处？

这样学生在问题的思考当中，既有了实际的动手操作，又有了充分的动脑思考，数学实验与数学建模也就结合在了一起，前者成为后者的途径，后者成为前者的结果，两者之间相互促进，相得益彰.

高中数学教学中数学建模与数学实验的教学分析

将数学实验与数学建模联系在一起，其实并不是笔者的创举，从理论与实践结合的角度来看，数学实验与数学建模的联系，理论研究早就走在了前面. 比如就有研究者明确指出：数学实验、数学建模的思想与方法，正是对学生启迪心智、培养能力和提高素质的有效结合点. 通过严格的学习与训练，培养学生应用数学知识处理现实世界复杂问题的应变能力和创造能力;养成学生认真细致、严谨踏实、精益求精的工作作风;塑造学生顽强拼搏、勇攀高峰的思想品质;培养学生合作共事、团结协作的协调能力. 作为高中数学一线教师，笔者的努力更多地集中在将所学的理论知识运用到教学实践当中，然后寻找理论与实践的最理想的结合点.

就数学实验与数学建模而言，两者的结合点显然在于数学思维. 在数学实验的过程中，学生要通过数学思维去设计实验、进行操作;在数学建模的过程中，学生要通过数学思维完成数学抽象、逻辑推理等，以使得建立的模型更加科学，更加具有实效性. 在实际教学当中，教师应当更多地研究哪些数学模型可以通过数学实验来建立，而且教师应当宽泛地理解数学模型，要认识到数学概念以及数学规律得出的过程中，都具有数学建模的思想. 因此通过数学实验来演绎这些数学知识或者规律的得出过程，往往也就与数学建模衔接在了一起，于是数学实验与数学建模就呈现出了一个良好的融合样态，从而就能够为包括数学建模在内的所有数学学科核心素养的培育，提供非常有益的思考空间.

以上见解来自笔者的实践与思考，由于这个领域的实践研究相对比较薄弱，所以笔者的探究难免存在一些缺失，还望同行批评指正.