不定积分计算方法的归纳小结

栾金凤

【摘要】不定积分的计算是积分学内容常用的基本工具.除了多做题以外，如何方便快捷地提升学生计算不定积分的能力呢？这是一线教师，教材编写工作者，以及各类参考书编写工作者一直思考的问题.为此，本文提出了计算不定积分的结论1、结论2、结论3、结论4和结论5.这些结论不仅通俗易懂，而且方便记忆，并且每个结论对应一个典型的例子.笔者希望本文对学生解题水平能力的提升和一线教师的教学工作有所帮助.

【关键词】高等数学;不定积分;被积函数;原函数

以函数作为主要研究对象的高等数学课程是大部分高等院校的必修基础课程之一，也是多数报考理工科专业的考研学生必考的学科.高等数学建立在初等数学的基础上，首先研究函数的极限，计算极限的方法，然后应用极限先后分别给函数的连续性、间断点、函数的导数、微分和积分下了定义和推导出了它们的性质、计算公式和定理.在某区间上定义的连续函数一定存在原函数，不定积分只是积分学中寻找原函数的一种常用的主要工具.计算不定积分最简便快捷的方法是使用计算机的数学软件，如MATLAB数学软件、maple数学软件、mathematic数学软件等，学生只需懂得数学软件的命令程序，便能很快且准确地计算出被积函数所对应的原函数.然而，从实际情况出发，一方面学生往往面临的是考试，另一方面一线教师往往面临的是板书（或PPT）教学，他们只能用手算.另外，学生只有很好地掌握了不定积分的计算技巧和方法才能计算出原函数，才能掌握后续应用牛顿—莱布尼茨公式求定积分、二重积分、三重积分、两类曲线积分和两类曲面积分的方法.可见，不定积分是积分学的常用的基本工具.然而，不定积分的被积函数的表达式多种多样，课本上通常会介绍第一类换元法，第二类换元法，分部积分法，有理函数积分法，积分表的使用等.总之，由于被积函数种类多，计算不定积分的方法不确定，因此，初学者做不定积分题时往往会出现以下的问题：当看到被积函数时，不知用什么方法，无从下手;计算不定积分时，起初方法不对，这样不仅导致运算烦琐，计算量增大，而且还得不出原函数.解决这些问题，只靠盲目做题显然是行不通的，目前归纳总结是最有效的办法.笔者根据多年的教学经验，以结论的形式提出五个通俗易懂、简明扼要的求解不定积分题的归纳小结方法，与同行分享.

结论1 当被积函数表达式中含有x，3x等无理式时，通常首先进行变量代换，把无理式变成有理式，然后进行积分运算

例1 计算不定积分∫dx（x+3x）x.

解题分析 被积函数中不仅含有x，而且含有3x，令x=t3，则3x=t2，此时可以把两个无理式变成有理式.

解 令x=t6（t>0），则dx=6t5dt.

∫dx（x+3x）x=∫6t5dt（t3+t2）t3

=6∫dtt+1

=6ln（t+1）+C

（由于x=t6，因此把t=6x代入上式）

=6ln（6x+1）+C.

除此之外，如果被积函数中含有a2-x2，那么可作变量代换x=asin t去掉根号;如果被积函数中含有x2+a2，那么可作变量代换x=atan t去掉根号;如果被积函数中含有x2-a2，那么可作变量代换x=asec t去掉根号.这些总结在多数高等数学课本中出现过，这里就不再赘述.

结论2 当被积函数表达式为基本初等函数乘积时用分部积分法

例2 计算不定积分∫eaxsin bxdx（a≠0）.

解题分析 被积函数是指数函数eax和正弦函数sin bx的乘积，因此用分部积分法.

解 ∫eaxsin bxdx

=1a∫sin bxdeax

（首先，用一次分部积分法）

=1aeaxsin bx-ba∫eaxcos bxdx

=1aeaxsin bx-ba2∫cos bxdeax

（然后，再用一次分部积分法）

=1aeaxsin bx-ba2eaxcos bx-b2a2∫eaxsin bxdx，

上述等式左、右两端都出现∫eaxsin bxdx，移项整理，得

∫eaxsin bxdx=asin bx-bcos bxa2+b2eax+C.

除此之外，一些不定积分题的被积函数需要首先通过变量代换后把被积函数化简为基本初等函数的乘积，然后再用分部积分法，如∫arctan xdx，∫e3x+1dx等.

结论3 被积函数为分式结构，分母复杂，通过变量代换后变得简单些

例3 计算不定积分∫dxx（x+1）3（x>0）.

解题分析 被积函数1x（x+1）3的分母x（x+1）3比较复杂，为此，令x=tan 2t0

解 令x=tan 2t，则dx=2tan tsec2tdt，

∫dxx（x+1）3

=2∫tan tsec2ttan tsec3tdt

=2∫cos tdt

=2sin t+C.

由于x=tan 2t，因此把sin t=x1+x代入上式，得

原式=2x1+x+C.

除此之外，多数不定积分的被积函数经过化简分母后，分母同样会保留，如∫dxex+e-x，∫x2（x+2）3dx等.

结论4 被积函数为幂函数xn（x∈Z+）和正弦函数、余弦函数或指数函数乘积时，以降低幂函数次数的方式采用分部积分法

例4 计算不定积分∫x2exdx.

解题分析 被积函数是幂函数x2和指数函数ex的乘积，用分部积分法只能采用降低冪函数次数的方式.

解 ∫x2exdx=∫x2dex

（首先，用一次分部积分法）

=x2ex-2∫xexdx

（上述被积函数由x2ex变为xex，幂函数的次数降低一次）

=x2ex-2∫xdex

（然后，再用一次分部积分法）

=x2ex-2xex-∫exdx

（上述被积函数由xex变为x0ex，幂函数的次数又降低一次）

=ex（x2-2x+2）+C.

除此之外，如∫xnsin xdx，∫xncos xdx等形式的不定积分只能以降低幂函数次数的方式采用分部积分法.

结论5 被积函数为幂函数xn（x∈Z+）和对数函数、反三角函数乘积时，以增加幂函数次数的方式采用分部积分法

例5 计算不定积分∫x2ln xdx.

解题分析 被积函数是幂函数x2和对数函数ln x的乘积，用分部积分法只能采用增加幂函数次数的方式.

解 ∫x2ln xdx=13∫ln xdx3

x2ln xdx=13ln xdx3，幂函数的次数升高，应用分部积分法

=13x3ln x-13∫x2dx

=13x3ln x-19x3+C.

除此之外，如∫xnarcsin xdx，∫xnarctan xdx等形式的不定积分只能以增加幂函数次数的方式采用分部积分法.

数学题本身具有灵活性、多样性的特点，有些题需用综合上述五个结论中的若干个才能计算出原函数.这就需要学生通过做题来灵活体验.

结束语

本文建立在高等数学教材的基础上.本文給出了五个结论及与其相应的典型例子，以归类的形式介绍了解不定积分题的若干容易掌握的方法.学生在记住基本积分表，掌握两类换元积分法，分部积分法和有理函数积分法的基础上，继续掌握本文的五个结论，并通过勤练，很容易就能达到求解中等难度或者偏难的不定积分题的水平.对于大学生或者考研的学生来说，他们掌握了本文就在积分学中获得了寻找原函数的有力工具.学无止境，本文作者将在以后的工作中继续探究求解不定积分的方法.

【参考文献】

[1]同济大学数学系.高等数学（第七版）[M].北京：高等教育出版社，2014.

[2]刘海军.高等数学（上册）[M].北京：中国农业出版社，2019.

[3]宋显花.几类三角函数的不定积分[J].高等数学研究，2018（06）：16-19.

[4]徐英杰，范海宁.一类有理函数不定积分的求解[J].数学学习与研究：教研版，2020（10）：6-7.