HPM视角下数学史融入数学分析教学的探索

孙庆峰

【摘要】数学分析是高校数学专业一门十分重要的必修课程.在HPM视角下，将数学史融入数学分析教学可提升课程的教学效果，有助于学生了解整个数学概貌.本文结合教学实践，以“无穷大量”为例，从数学史和数学教育的角度对数学分析教学进行了探讨.

【关键词】 数学史;HPM;数论;无穷大量;融合

【基金项目】 本文受到山东大学（威海）教育教学改革研究项目的资助（项目编号Y2019059）

引 言

德国著名数学家David Hilbert说过，数学是一个有机体，它的生命力的一个必要条件是所有各部分不可分离的结合.但在传统的大学数学教学中，很多课程都是从抽象概念到理论体系，大部分学生四年大学读下来，学到的只是一些似乎没有什么联系的数学片段，高等数学的概貌无法在学生心中呈现，这样培养出来的学生将来很难找到数学的主干分支，进而从事数学研究.鉴于以上困境，HPM（History and Pedagogy of Mathematics）应运而生.数学史可以提供整个数学概貌，不仅可以使某一数学课程的内容相互联系起来，还可以使它们跟整个数学的主干联系起来，正如庞加莱（J.H.Poincaré）所说：“如果我们想要预见数学的将来，适当的途径是研究这门科学的历史和现状.”当然，我们也不能满堂灌，整节课都讲数学史，将数学课讲成历史课，可以只介绍某一个有代表性的数学分支.本文主要围绕以下两个方面的问题进行探讨：一是将数论研究历史融入数学分析教学有何意义;二是如何将数论研究历史融入数学分析教学.

一、数学史和数学教育

HPM起源于1972 年第二届国际数学教育大会.在这次大会上，数学史与数学教学关系国际研究小组正式成立，标志着数学史与数学教育这个新的研究领域的诞生.如今，HPM也表示数学教学的一种视角.有学者指出，HPM 视角下的教学设计，需要从数学知识、数学发展史、学生对数学知识的认知出发，注重数学知识的历史文化向度，不能简单地重复历史，也不能仅仅讲述数学家的故事，切入点是数学概念和定理的形成、发展的历史背景及蕴含的数学思想方法，让学生能够体验到数学的价值，欣赏数学的美，享受数学的乐趣.张奠宙曾在《HPM：数学史与数学教育》一书的序言中写道：我常将“为历史而数学史”比喻成“和田玉矿床”的开采，而把“为教育而历史”看成“玉石雕刻”的艺术.和田玉籽料是玉器的源头，当然重要，但是玉石雕刻艺术同样具有学术价值和艺术魅力.我想，HPM就是这样的一门艺术.

二、数论研究历史融入数学分析教学的意义

美国著名数学史家卡约里（Florian Cajori）说过：“数学的历史是重要的，它是文明史的有价值的组成部分，人类进步和科学思想是一致的.”他还在他的《数学史》（A History of Mathematics）一书的前言中指出，教师通过对学生介绍数学史知识，可以使学生了解数学是一门在不断演进并且有趣的学科.我国著名的数学教育家、华东师范大学教授张奠宙曾说过，数学史是数学文化的载体，学习数学史，还能丰富学生对数学的认识.张俊忠在他的博士论文中也指出，将数学史融于初中数学教育可以提高学生学习数学的信心，激发学生学习数学的兴趣，促进学生理解数学，形成正确的数学观.对初中生尚且如此，对大学生的作用更加不容小觑.在德国汉堡大学举行的第十三届国际数学教育大会中的第25个研究专题强调，要认识数学史在数学课堂和教学中的作用.

数论是核心数学中历史最为悠久、影响最为深远的分支之一.数论研究不仅激励着纯粹数学的发展，还一直促进着应用数学的扩展和提升，其相关理论成果在量子力学、计算方法、代数编码、组合论、信息安全等领域都起到了重要的作用.数论是数学中最美的数学分支之一，它的很多猜想或者定理都有一个显著的特点，就是只要具备初中甚至小学知识就能看懂，但其证明却需要当前最深刻最前沿的数学理论.比如，著名的哥德巴赫猜想“每个大于等于4的偶数都可以表为两个素数之和”;再如费马大定理“当整数n大于2时，关于x，y，z的方程xn+yn=zn没有正整数解”.鉴于这些特点，让学生了解数论发展历程可以激发学生对数学的学习兴趣，提高学生的数学审美素养.素数分布问题是数论中最重要的问题之一，同时素数又是所有学生都知道的数学对象，相比其他抽象的数学概念更加平易近人.将素数分布问题的研究历史融入数学分析教学，能够让学生体会到微积分理论对促进数学发展所起到的重要作用.

所谓教学相长，将数学史融入数学分析教学对教师而言也有助于数学素养质的提升和教学水平质的提高.杨渭清在其发表的文章中指出，数学史是教师数学素养提升的精神源泉.教师更加了解数学史，可以提升其对数学的认识，改进教学方法，改变传统的先介绍抽象的数学概念，再介绍理论体系的教学方法，而以活跃课堂气氛为主，以学生为中心，让学生更容易接受新概念和新理论.

三、数论研究历史融入数学分析教学的途径

在数学分析的教学中，在讲解微积分的应用时，举例多来自物理方面，但由于现在很多学生物理知识薄弱，对一些物理概念比较陌生，所以如果能举一些浅显易懂的例子，效果会更好.汪晓勤将数学史融入数学教学的方式划分为五种，即“点缀式”“附加式”“复制式”“顺应式”“重构式”.“点缀式”是指在教学中提供插图，如数学家画像、古代数学著作的书影及能够反映数学主题的绘画、摄影作品等，这种方式以图辅文，图文相配，具有装饰、美化的作用.“附加式”是指在教学中介绍数学史文字阅读资料，包括数学家的生平，数学概念、符号、思想的起源，历史上的数学问题、思想方法等，这种教学方式可以使教学更加有趣、生动，但过于浅显，不能挖掘出知识的內涵.“复制式”是指在教学过程中直接采用历史的数学问题、问题解法、定理证法等，这种教学方法能够提供数学问题，再现数学思想，促进数学学习.“顺应式”是指在教学过程中采用改编的历史数学问题或根据历史材料而编制的数学问题，或源于数学史但经过简化的数学问题.这种教学方式能够增加学生探究问题的机会，激发学生的学习兴趣.“重构式”是指在教学中借鉴或重构知识的发生、发展的历史，采用发生法进行教学的方式，这种教学方式可以使学生再创造式的学习新知识，但重构难度大，缺少直观性，易使课堂枯燥无趣.现在广泛认可的方式是将两种以上教学方式融合起来，比如“附加式+重构式”.下面以无穷大量教学片段及分析为例，探讨数论研究历史融入数学分析教学的途径.

（1）教学片段1：由最熟悉的素数的分布问题引入

师：素数有多少个？

生（全体）：无穷个.

师：怎样证明素数有无穷个？

生1：反证法.

生2：Euclid方法.

师：很好，很多同学都知道素数有无穷个的证法.但历史上，有很多数学家想进一步证明特殊形式的整数是素数.比如，费马在1654年写给数学家帕斯卡的信中告诉帕斯卡，自己新发现一个“定理”——形如22n+1（n为非负整数）的正整数都是素数.即221+1为5，是素数;222+1为17，是素数;223+1为257，是素数;224+1为65537，是素数;如此以至无穷.不过他承认，上述“定理”的证明很难，他还没有完全找到.对于费马的发现，帕斯卡简直是敬佩备至.同学们觉得费马的证明对吗？

生：不对！

师：为什么不对呢？

生：……

师：因为费马的这个结论是由不完全归纳得到的结论，而不完全归纳得到的结论不具有说服力.事实上，一个世纪之后，数学家欧拉证明了当n=5时，费马所说的数是合数，从而证明费马所谓的“定理”是不成立的.所以，对数学结论的证明都要求是严格的.

（2）教学片段2：用数学语言表达

师：设π（x）表示不超过x的素数的个数，素数有无穷多个等价于什么？

生3：limx→+∞π（x）=+∞.

师：我们就把π（x）称为当x→+∞时的正无穷大量.再比如ln x是当x→+∞时的正无穷大量，xα（α>0），ex，xx都是当x→+∞时的正无穷大量.类似地，还可以定义x→x0，x+0，x-0，∞，-∞等情况的无穷大量、正无穷大量和负无穷大量.大家能不能写出这些情况的定义呢？

生4：若limx→x0f（x）=∞（或+∞，-∞），则称当x→x0时，f（x）是无穷大量（或正无穷大量、负无穷大量）.

师：你能不能举个例子说明一下？

生4：比如x-1是x→0时的无穷大量，ln x是x→0时的负无穷大量，-ln x是x→0时的正无穷大量.

师：很好！有哪名同学能说一下当x→x0+（x-0）时，f（x）是无穷大量（或正无穷大量、负无穷大量）的定义呢？

生5：若limx→x0+（x-0）f（x）=∞（或+∞，-∞），则称当x→x0+（x-0）时，f（x）是无穷大量（或正无穷大量、负无穷大量）.

师：对的，请坐.比如x-1是x→0+时的正无穷大量，x-1是x→0-时的負无穷大量.还有哪名同学能说一下当x→∞（-∞）时，f（x）是无穷大量（或正无穷大量、负无穷大量）的定义？

生6：若limx→∞（-∞）f（x）=∞（或+∞，-∞），则称当x→∞（-∞）时，f（x）是无穷大量（或正无穷大量、负无穷大量）.

师：非常好！相信大家都理解了无穷大量.同学们一定要注意，说哪个函数是无穷大量，必须点明是在哪个极限的无穷大量，比如x-1是x→0+时的正无穷大量，但不是x→1时的无穷大量.

（3）教学片段3：由素数分布问题研究历史引入无穷大量的比较

师：德国数学家高斯和法国数学家勒让德猜想：limx→+∞π（x）[]x/ln x=1意思是x无限增大时，π（x）和x/ln x趋于无穷的速度一样.这个猜想由阿达马和德·拉·瓦莱布桑在1896年按照黎曼的思路证明.

师：也就是说素数趋于无穷的速度和整数趋于无穷的速度不一样，整数趋于无穷的速度和x趋于无穷的速度是一样的.整数趋于无穷的速度快，还是素数趋于无穷的速度快呢？

生（全体）：整数.

师：我们称当x→+∞时，π（x）和x/ln x是等阶无穷大量，x关于x/ln x是高阶无穷大量，x/ln x关于x是低阶无穷大量.

4.反思总结

马赫说过：“没有任何科学教育可以不重视科学的历史与哲学.”数学史中包含着丰富的教学素材和数学思想，更富含历代数学家的探索精神和爱国主义情操.在教学的道路上，教师要不断探索好的教学方式，将这些数学思想和精神传承下去，创造新时代数学的未来.

【参考文献】

[1]彭刚，蓝宁.HPM 视角下大学微积分教学改革研究[J].湖北第二师范学院学报，2018（035）：95-98.

[2]张俊忠.数学史融入初中数学教育的研究[D].武汉：华中师范大学，2015.

[3]徐斌艳.2016年相聚在第十三届国际数学教育大会[J].中学数学月刊，2015（06）：1-3，16.

[4]杨渭清.数学教育中融入数学史的若干问题探究[J].西安文理学院学报（自然科学版），2009，12（3）：125-128.

[5]汪晓勤.HPM：数学史与数学教育[M].北京：科学出版社，2017：320-356.