分类讨论思想在数轴动点问题中的应用

广东省佛山市顺德区桂凤初级中学(528315) 曾 彬

数轴是学生进入初中学习到的有关于有理数在直线中表示的方法,数轴上的动点问题是在学习了绝对值、数轴后学习到的一类综合性题目,它可以很好地考察学生数形结合思想、分类讨论思想,学习好它可以为今后学习数形结合、分类讨论打好基础,因此常常受到出题者的青睐,而数轴上的动点行程问题又是一类最典型问题,它综合了行程问题、数形结合、分类讨论思想,对这类问题进行分类有利于学生更好的掌握知识和方法,做到分类不遗不漏,有依有据.

1 主要涉及的知识和概念

数轴: 规定原点、正方向、单位长度的直线叫数轴.

路程、速度、时间的关系: 路程=速度×时间.

数轴上点的用字母表示的方法: 因为我们规定数轴上原点的右边为正方向,向左为负方向,所以一个点向右移动只需要在原来这个数加上运动距离,一个点向左移动只需要在原来这个数减去运动距离, 即可以得到移动后所表示的数.如: 数轴上有一点A,对应的数为a,若点A向右移动m个单位长度到点B,则点B表示的数为a+m(如图1);若点A向左移动m个单位长度到点C,则点C表示的数为a −m(如图2).

图1

图2

数轴上两点之间的距离: 数轴上两点间的距离就是数轴上这两个点所对应的数的差的绝对值,但初一的学生刚学完绝对值,对绝对值的计算已经感觉很困难掌握,所以本文所讲的数轴上两点间的距离指的数轴上右边点表示的数减去左边点表示的数,即: 数轴上两点间的距离=右边的点所表示的数−左边的点表示的数.例如: 数轴上点A、B分别对应的数为数a和数b,其中点A在点B的右边,则点A和点B两点的距离为a −b(如图3).

图3

2 问题分类及解法

2.1 相遇问题

学生在小学就学过相遇问题也可以分为两类,一类是相向相遇,这是学生最容易掌握,小学这类题应用题做的很多,另一类是同向相遇,即我们所说的追赶问题.

2.1.1 相向相遇

例题1如图4,已知A、B分别是数轴上的两个点,A点对应的数为−6,B点对应的数为4,其中A点以每秒3 个单位长度向右运动,B点以每秒2 个单位长度向左运动,若它们同时运动,则经过多少秒A、B两点相遇?

图4

方法一(几何法): 小学时候学习过的相遇问题,点A和点B所走的路程之和就是AB的距离.假设A、B两点在点P相遇(如图5),则AP+BP=AB.设经过t秒A、B两点相遇,则AP= 3t,BP= 2t,根据题意得: 3t+2t= 10.解得t=2.

图5

方法二(代数法):A、B两点相遇就是这两个点最好重合在一起变成一个点,假设点A、B在点P相遇,即相遇的时候A、B点跟点P重合在一起(如图5), 设经过t秒A、B两点相遇, 则点A运动的距离为3t, 点B运动的距离为2t, 根据本文前面提到的数轴上点运动前后的表示方法可知,点A运动t秒后表示的数为−6+3t,点B运动t秒后表示的数为4−2t,因为他们相遇了,所以表示同一个数,即−6+3t=4−2t.解得t=2.

从上面两种解法可知, 几何法注重线段之间数量关系,对于简单的相遇问题学生还是很容易找到这种关系的,此时我们还看不出代数解法的优越性,下面我们继续看相遇问题的另一类型题追赶问题.

2.1.2 同向相遇

所谓同向相遇就是两个点起点不同, 运动速度也不同,但运动方向相同,又被称为追赶问题,通常后面这个点运动速度比较快,前面被追赶的点运动速度较慢.

例题2如图6,已知A、B分别是数轴上的两个点,A点对应的数为−6,B点对应的数为4,其中A点以每秒3 个单位长度向右运动,B点以每秒2 个单位长度向右运动,若它们同时运动,则经过多少秒A、B两点相遇?

图6

分析: 点A、B都是向右运动, 属于同向运动的追赶问题,因为他们是同时运动的,所以最终也肯定在B点右侧相遇,假设点A追上点B的的位置是点P(如图7),即表示A、B、P三点重合.所以只要表示出运动后点A、点B表示的数就可以了.

图7

2.1.3 方向不定的相遇运动

方向不定即题目中没有给出两个点向什么方向运动,对于这类题目就需要分类讨论,两个点是相向运动,两个点同时向左或向右运动,解答就要把上面两个例题的答案都要写出来.例如把上面例题2 改为:

例题3如图6 已知A、B分别是数轴上的两个点,A点对应的数为−6,B点对应的数为4,其中A点以每秒3 个单位长度运动,B点以每秒2 个单位长度运动,若它们同时运动,则经过多少秒A、B两点相遇?

分析: 这道题跟前面两道题对比却别在于,这道题没有明确说明这两个点的运动方向,因此在解题的时候我们需要最它们进行分情况,即A、B两点反向运动和同向运动.

从上面三道例题不难发现,遇到相遇问题如果题目中没有给出运动方向,那么我们就要分情况讨论如例题3.从解法上也可以发现用传统的几何方法来解数轴问题往往需要画出示意图,在列出线段间的数量关系,但画示意图已经难倒很多同学,而用代数方法来解往往不需要画示意图,而且列等式也简单,即表示同一个数就是相等的意思.

2.2 相距问题

相距问题就是两者之间的距离问题,动点问题的相距问题可以分为相向运动的相距问题和同向运动的相距问题.

2.2.1 相向运动相距问题

相向运动的相距问题又可以分为相遇前相距和相遇后继续运动导致的相距问题.

例题4(2016 秋·盐城月考)A、B两点在数轴上,点A表示的数是−6,点B在原点的右边且与点A相距15 个单位长度.若点A以2 个单位/秒的速度向右运动,同时点B以3 个单位/秒的速度向左运动,经过多长的时间A、B两点相距10 个单位长度?

分析: 这道题属于反向运动中的相距问题,根据题意可以知道需要分类讨论,在相遇前相距20 个单位长度,即运动后点B表示的数−点A表示的数=10;第二种情况是相遇后动点A表示的数−动点B表示的数=10.

2.2.2 同向运动相距问题

同向运动的相距问题又也可以分为相遇前相距和相遇后继续运动导致的相距问题

例题5(2018 秋·佛山禅城区期末) 如图,已知数轴上点A表示的数为6,B是数轴上在A左侧的一点,且A,B两点间的距离为10.动点P从点A出发,以每秒5 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动,动点Q从点B出发,以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动.

(1)设运动时间为t(t ＞0)秒,数轴上点B表示的数是____,点P表示的数是____(用含t的代数式表示);

(2)若点P、Q同时出发,求:

①当点P运动多少秒时,点P与点Q相遇?

②当点P运动多少秒时, 点P与点Q间的距离为8个单位长度?

分析: 这里的第(2)中的第②问就是同向相距问题, 需要分两种情况讨论,当P不超过Q时,点P表示的数−点Q表示的数= 8;当点P超过点Q时,点Q表示的数−点P表示的数=8.

2.2.3 方向不定的相距问题

方向不定就是题目没有告诉我们点是往哪个方向运动的,这时候我们就要分4 中情况讨论.相向运动中的两种情况和同向运动中的两种情况.

例题6(2018 秋·佛山南海区期末) 如图,在数轴上点A表示的数a、点B表示数b,a、b满足|a−6|+(b+12)2=0.点O是数轴原点.

(1)求线段AB的长;

(2)点A以每秒1 个单位的速度在数轴上匀速运动,点B以每秒2 个单位的速度在数轴上匀速运动.设点A、B同时出发,运动时间为t秒,若点A、B能够重合,求出这时的运动时间;

(3)在(2)的条件下,直接写出经过多少秒后,点A、B两点间的距离为20 个单位.

分析: 第(3)问就是典型的没有运动方向的相距问题,所以答案有4 个.

2.3 反向运动的相遇或相距

虽然也是相距或相遇问题,但这类问题远比前面两类问题要难,因为它的运动起点往往不能看成原来的起点,而是要把返回点看成起点,并且最近几年这类题属于创新题,考的比较多,所以有必要分开来研究.前面两类题我们能明显地感觉到代数解法的简便性,易理解易掌握.对于这类问题其实也可以用代数的方法来解.

例题7(2019 秋· 顺德区期末) 如图O为数轴的原点, 点A、B在数轴上表示的数分别为a、b, 且满足(a −20)2+|b+10|=0.

(1)写出a、b的值;

(2)P是A右侧数轴上的一点,M是AP的中点.设P表示的数为x,求点M、B之间的距离;

(3)若点C从原点出发以3 个单位/秒的速度向点A运动,同时点D从原点出发以2 个单位/秒的速度向点B运动,当到达A点或B点后立即以原来的速度向相反的方向运动,直到C点到达B点或D点到达A点时运动停止,求几秒后C、D两点相距5 个单位长度?

分析: 第(3)问是这道题的难点,顺德区七年级期末连续两年都考了类似的返回类型的题目, 明显需要分情况讨论,当C、D还没到达A、B点时距离等于5,当D到达点B,点C没到达点A前明显距离不可能等于5,当C、D到达A、B后返回运动过程中相遇前相距5 和相遇后相距5,返回的运动相当于C、D两点看成从A、B出发.

从上面的题目讨论中可知,用代数法大大减小了思维容量,找线段之间的关系对学生来说本来就是一个难点,通过代数的方法可以让更多的学生掌握,培养学生的数形结合的意识和创新意识.

3 解题方法提炼

从上面例题分析中我们可以知道用代数法解动点问题是有步骤可寻的:

第一步: 找到动点起点所表示的数;

第二步: 用代数式表示动点运动的距离;

第三步: 用代数式表示出运动后这个动点表示的数:

第四步: 根据题意,若是相遇问题就是运动后两点所表示的数相等;若是相距问题就要分类讨论相遇前相距和相遇后继续运动导致的相距问题,用右边点表示的数减去左边点表示的数等于相距的距离.

只要掌握这四个步骤,行程问题中的动点问题也就变为纸老虎,再也不是优生的专利,中等生、甚至中等偏下的学生一样可拿满分.

动点问题是培养学生分类讨论、数形结合思想一个强有力的工具,对于动点问题中的多种方法的解答有利于培养学生创新思维能力,代数法的解答大大降低思维难度,做到化难为简,对初一学生建立学习好数学的信心大有帮助,同时对学生以后学习立体几何具有深刻的影响.