核心素养视域下的不等式教学设计

广东省东莞市东莞中学(523005) 赵银仓

广东省东莞市第六高级中学(523005) 黄佑锋

1 问题起因

代数问题可分为等式问题与不等式问题,等式问题学生在分析中往往借助有关公式、定理、性质进行变形与转化,化归为熟悉的问题加以解决,找到解决问题的切入点.但不等式问题一般不直接套用公式,变形方向不容易找到,困难性自然就增大了.可见,不等式问题是高中数学的一个难点,因其推理要求较高,联想知识迁移用于问题解决难度大,学生在学习中普遍感觉到有较大的困难性.在和学生访谈中发现普遍存在这样的问题,做课本中习题不觉得特别难,但遇到课外练习题又感很困难.在教材中只讲了基本不等式,在解决不等式有关问题如证明、求最值、求范围等问题时大多要使用基本不等式,通过逻辑推理运算求解.研究不等式问题,解决方法的选择大多与问题的结构有关,不同的结构要选择与其对应的方法才能够推理分析,变形求解.只掌握基本不等式,对一些问题的解决来说困难重重,不仅推理繁杂,而且有时望洋兴叹,无计可施,真有一筹莫展之感.如何在教学中提高学生在解决不等式问题时的逻辑思维、推理论证、运算求解能力,发展逻辑推理素养? 在教学的实践中很多老师都在关注思考解决这个问题的方案.

2 教学案例

以人教A 版为例,课本上把一些常用的重要的不等式编入在定理、例题、习题中,在教学中若能将其中一些重要的结论加以适度的拓展延伸并能应用,让学生在迁移知识用于解决问题的过程中将知识与方法融汇贯通,达到课内所学基础知识与方法能够分析和解决课外所遇到的问题,消除学习中的困惑,提高分析问题和解决不等式问题能力,提升逻辑思维、推理论证、运算求解等数学素养.下面以单元复习课“基本不等式的拓展及应用”的教学过程的设计为例来说明.

2.1 定理拓展,变式推广

前面同学们已经学过基本不等式,对于解决有关两数平方和与两数积之间的关系问题,特别是两个正数的算术平均数与几何平均数的关系问题会非常方便.对于问题中出现了两个以上变量的问题,则无效直接应对,因此需要探究基本不等式的拓展与推广.

拓展: 已知a,b,c,d都是正数，且ad /=bc, 求证:(a2+b2)(c2+d2)＞(ac+bd)2.

注: 此结论为课本习题,普通高中课程标准实验教科书《数学·选修4-5 不等式选讲》(人民教育出版社A 版)中第23 页第2 题.

证明:

等号成立, 须a2d2=b2c2, 但已知ad /=bc, 故等号不成立,所以(a2+b2)(c2+d2)＞(ac+bd)2.

由上面的证明可以看出,当ad=bc,不等式可以取得等号.

拓展为两组平方和的积的问题,为二次不等式.将二次降为一次,对解决一次类似问题会简单直接.

变式: 已知a,b,c,d都为正数, 则(a+b)(c+d) ≥当且仅当ad=bc即时等号成立.

变式是一个非常典型的不等式模型,使用这个不等式使许多结构与它一致或相近的不等式问题会得到非常简便的解决.

推广: 已知a,b,c,d,e,f都为正数, 则(a+b+c)(d+e+f) ≥, 当且仅当时等号成立.

从二元到三元结构的推广,使学生深受启发,可以建构多元结构的类似不等式,也可以尝试用相似的方法证明,从而提升学生的思维深度,提升学习能力和思维品质.

2.2 深度应用,训练思维

前面得到的拓展、变式和推广不等式,它们的结构简洁,形式优美,容易记忆.作为定理应用于解决其它问题便于联想找到解决问题的思路,可作为桥梁,容易发现已知与结论之间的联系通道,沟通彼此,知识融合,思维发展.下面分类探究,便于总结揭示内在规律.

2.2.1 探究某些类型的不等式的证明

例1证明下列不等式,并说明等号成立的条件.

(2) 设正数a,b满足a+b= 1,求证:并说明等号成立条件.

证明(1)因为

设计意图此例是训练学生能在较复杂的问题中发现使用变式不等式的结构,进行推理论证.两个小题结构总体一致,已知两个正数的和为定值,求与这两个正数有关的两个式的和或积的最值问题.训练学生通过观察、联想、变形、推理等思维过程,分析问题结构特征,与已知之间的联系,运用变式不等式求证.第(1)小题, 训练学生能通过观察发现特点: 待证不等式左端式子中两个分式的分母都为正数,而且之和为常数;两个分式的分子和分母都是一次式.基于两个特点,可对不等式左瑞进行分拆变形,找到可以使用变式不等式的形式.此小题形式及系数设计,在推理及运算中有一定的困难性,其目的就是增强学生思维的难度,训练学生的数学理解能力及推理能力,同时要让学生体会到对于复杂的题目往往要通过对已知或求证进行变形才能找到之间的联系.第(2)小题要进行两次不等式处理, 在应用变式不等式后,还要再次使用或用基本不等式,在不等式传递的过程中要注意等号能够成立.虽然还有其它解法,但这种解法显得更为简洁.旨在训练学生能广泛联想,严谨慎密推理.

2.2.2 探究某些类型的最值问题

例2(1)求函数y=的最大值.

教师常去关注学生的“成功”，而却易忽略学生的“错误”。公式的应用不熟练会导致学生解题出错，教师要抓住学生的错误之处，有意制造错误，以加深学生对公式的理解把握，有利于培养学生思维的深刻性。学生在思维不全面时，会有遗漏特殊问题的情况出现，这会导致解答的不完整，教师要引导学生剖析这种“以偏概全”，分析出错的原因，培养学生思维的严谨性。如在求圆的两条平行弦之间的距离时，学生往往只考虑两弦在圆心同侧这种情况，而忽视了两弦在圆心异侧的情况，导致解题不严谨。

(2)设正数a,b满足0＜a ＜1,0＜b ＜1,且求的最小值.

解(1)y2=(32+42)(2x −1+5−2x) ≤100, 所以y≤10, 等号成立当且仅当因此,当时,y的最大值为10.

(2) 因为正数a,b满足0＜ a ＜1,0＜ b ＜1,且所 以(1−a) + (1−b) = 2−(a+b) ≤, 等号成立当且仅当a=b.因为((1−a)+(1−b))≥4, 等号成立当且仅当(1−a)2= (1−b)2,即a=b.因此等号成立当且仅当a=b.所以,当时,u取得最小值

设计意图此例是训练学生能在条件隐蔽的问题中发现隐性关系,使用变式不等式推理运算,求解最值.第(1)小题,旨在训练学生的观察能力,培养思维的灵活性.要能从问题中挖掘出隐含条件: 两个根号下的两个式子都非负,它们的和为定值,逆用变式不等式求解.本例中若用导数完成,运算量会偏大,应用变式不等式则十分简洁,这类问题有时要围绕拼凑系数来进行变形.第(2)小题, 旨在训练学生深度观察、广泛联想和综合分析能力,深度学习的能力,培养思维的发散性与深刻性.联想到用变式不等式能实现由两个倒数和到一个倒数的结构转变,再应用基本不等式与条件联系起来.

2.2.3 探究某些类型的参数的取值问题

例3(1) 对于任意的正实数x,y, 不等式恒成立,求实数a的取值范围.

(2) 若正实数a,b,c满足求的取值范围.

解(1)由题设知对于x=y= 1, 不等式成立, 所以又因为x,y为正实数, 所以(x+y)(1+1) ≥即综上,所求实数a的最小值为

等号成立当且仅当a=c.因此得0, 解得,等号成立当且仅当a=c且,解得所以正实数的取值范围是

设计意图此例是训练学生能通过变形化归,使用变式不等式求解参数的范围.第(1)小题,旨在训练学生的化归及思辨能力,培养思维的灵活性与创新性.这个解法颇有新意,由特殊值发现成立的必要性,用结论则证明了其成立的充分性,改变了往往能够观察到a取能够成立,但为什么最小却说理不充分的窘迫.第(2)小题, 旨在训练学生的深度联想,创新建构不等式分析问题与解决问题的能力,培养思维的深刻性与创新性.此题难度较大,使用变式不等式构造了二次不等式,实现了问题的突破,另解是在深层观察的基础上,变形分拆,使用变式不等式化为二次不等式求解问题,培养学生综合分析能力,逻辑推理能力及创新能力.

2.2.4 探究某些特殊结构的竞赛数学问题

例4(1)求函数的最大值.

(2) 设a,b,c均为正数, 证明:a2+b2+c2+并确定a,b,c为何值时, 等号成立.

所以,y≤11,等号成立当且仅当x+27=9(13−x)=4x,解得x=9.因此,当x=9 时,y的最大值为11.

(2)证明: 因为a,b,c均为正数,所以

设计意图此例是训练学生能通过化归使用推广不等式解决特殊结构的竞赛数学问题, 旨在训练观察与联想能力,培养学生思维的开放性与创新性.第(1)小题,通过系数的拼凑,构造推广不等式的结构是解决这类最值的常用方法,注意选择系数能够使含有一个未知数的方程组有解,满足等号成立.第(2)小题,训练学生整体思维策略,从研究三个元的平方和与它们之间倒数和的平方之间的联系入手,自然想到将用推广不等式将三元平方和转化为三元和平方,训练学生思维的广度、宽度与深度.

2.3 课堂检测,评价教学

1.设a ＞0,b ＞0, 若是3a与3b的等比中项, 则的最小值为____.

2.设x,y ∈R,则函数的最小值为____.

3.设x,y为实数,若4x2+y2+xy= 1 则2x+y的最大值是____.

4.若a ＞0,b ＞0,a+b=2,则下列不等式对一切满足条件的a,b恒成立的是____(写出所有正确命题的编号).

设计意图通过课堂练习检测学生对三个重要不等式的掌握情况,学生在练习中增强分析问题与解决问题的能力及理性思维能力,在听取教师评讲的过程中完善知识,难度适中.

3 教学思考

3.1 逻辑推理素养的落实源于教学中让学生弄清知识间的逻辑关系

数学是高度逻辑化的学科,知识的发生、发展与形成都离不开逻辑,数学的定理是在概念与原有知识的基础上经过逻辑推理产生的,数学知识间都存在着某种逻辑关系内在紧密联系着.学习数学,就是要理顺弄清知识间的内在联系,不仅要学习知识,更是要提升逻辑思维的能力.数学教学,就应引导学生探究知识间内在逻辑关系,使知识融合为一体,明白知识的来龙去脉,数学知识与数学方法间的关系,在学生解决有关问题时才能得以应手地使用知识和方法去分析问题,寻找解决方案,在思考与表达时做到“重论据、有条理、合逻辑”,更好地发展逻辑推理素养.

3.2 注重不同推理形式的应用及教学评价,促进逻辑推理素养发展

“数学是锻炼思维的体操”,学习数学,能使学生增长知识形成能力,同时能促进思维的发展,促进形成使人终身受益的逻辑推理素养.思维的发展离不开逻辑推理,数学推理形式有合情推理和演绎推理,它们在思维的发展中相互补充,互相促进.合情推理中的归纳推理实现特殊到一般的猜想,而类比推理实现由此到彼的推断,这两种合情的想象为科学的发展插上了翅膀,使我们在现有认知基础上猜想或推断可能正确的结论.而演绎推理帮助我们辨别猜想或推断的真伪,去证明其成立性或找出反例说明其错误性,可见在教学中要注重不同推理形式的应用,以促进思维的全面发展.在教学中会发现学生经常出现推理的错误或不严谨的思维方式,要重视学生课堂回答问题或课后解答问题的评价,让学生明白自己错误的根源,达到表达规范,思维慎密,推理严谨,合乎逻辑,以促进逻辑推理素养的发展.