高中数学概念教学中学生抽象思维的培养研究

孙小兵

[摘  要] 数学概念反映的是数学对象的一般的、本质的特征，这样的特征是人们在认识过程中通过抽象思维概括出来的，从理论和实践情况来看，高中数学概念教学是培养高中生抽象思维最关键的阶段，这应该引起所有教师的重视. 但我们必须明确一点，即学生抽象思维的发展并非一蹴而就的，它的出发点和培养路程主要在形象思维上，以此为定点再去分析高中数学概念教学，设计基本的培养思路.

[关键词] 数学概念;形象思维;抽象思维;培养思路

对高中数学概念教学的研究，如果出发点和路程不同，那么终点可能就不同，而且面对的路程的长度和难易度也可能不同，因此在概念教学之前教师关注的首要问题就是对抽象思维培养的出发点和培养路程的研究. 笔者通过多数文章理论的分析，以及多年高中数学教学经验，认为学生抽象思维的发展离不开形象思维的培养，而且是以形象思维的培养为出发点和定点来发展抽象思维的，因此以形象思维引出抽象思维应该是数学概念教学中基本的培养思路和培养方法.

由形象思维引出抽象思维

有观点认为，形象思维可以通过形象去把握那些难以用抽象概念把握的客体，可以通过情、境、形等手段去把握抽象思维所不能囊括的客体形象;借助形象思维，可以通过某种形象更快地揭示客体的整体本质. 对于这个观点，笔者是认同的. 形象思维、抽象思维与概念教学之间存在相互紧密的联系，笔者简述其为“概念教学正是从形象看本质”，即形象思维可以帮助学生把握抽象概念，他们可以通过多种手段对客体的属性进行分析、综合、比较后抽象出客体的本质属性.

因此，笔者认为在概念教学中从形象思维引出抽象思维这个策略是可行的，对形象思维的培养能够帮助学生快速、完整地理解抽象的数学概念，然后反哺形象思维的提升. 在研究具体的教学设计和实施过程中，笔者发现该策略有这样几个要点：（1）由于客体的复杂性和多样性，不同的学生对客体形象的认识是各不相同的，这需要教师对客体（概念）的本质属性进行梳理并引导学生在教学过程中认识，这对教师的梳理能力、掌控能力和引导能力是一种严格的考验. （2）形象思维的基础是感性直观认识，所以该策略的开始环节就是对情境的直观想象，情境创设应该在学生实际生活的范围之内. （3）学生思维是有差异性的，所以学生对概念的理解无论是深度、广度还是时间都是各不相同的，对同班同一策略的实施要注重层次性和反思评价. （4）在该策略实施过程中，利用问题驱动学生思维碰撞，包括形象思维与抽象思维的碰撞、学生之间的思维碰撞、师生之间的思维碰撞. 了解从形象思维引出抽象思维策略的这些要点，有助教师在具体的教学设计和实施过程中能够做好两个重要方面的工作，培养学生的抽象思维：一是从学生视角认识客体形象，从形象出发挖掘抽象思维的落地点;二是在概念教学过程中寻找、完善有效的抽象思维培养途径.

在概念教学中从形象思维引出抽象思维的培养思路

空洞的、臆造的、不可捉摸的抽象是不科学的抽象. 科学的、合乎逻辑的抽象思维是在社会实践的基础上形成的[1]. 从这句话可以知道，“靠近”社会实践，是教师培养学生科学的、合乎逻辑的抽象思维的起点，也是从形象思维引出抽象思维的培养思路和途径的起点，这应该引起师生在教学中的共同关注.

在概念教学中，从形象思维引出抽象思维的培养思路，以教师的角度来看，面对学生差异的思维能力，首先要熟悉的是在同一概念的教学中，学生的反应情况各是怎样的，即学生接触跟概念有关系的事物时意象、直观、想象的在社会实践中的形象各是什么;其次是面对不同的反应情况，通过相应手段和方法引导学生去除客体的非本质属性，认识客体的本质属性;由本质属性的综合、分析、概括，引导学生从本质上了解概念. 以学生的角度来看，初始接触概念对其形象的表达，将社会实践与数学语言联系起来;课堂中与教师、同学异同点的分析、概括是认识概念本质属性的重要环节;在完成例题中进一步了解、熟悉概念的本质属性.

具体来说，在概念教学中，学生的反应情况可以通过与教师相互探讨、课前或课堂的情境反应等方法或方式进行了解，通过问题引导学生用数学语言表达意象、直观、想象的概念形象，然后利用实例、变式、比较、归纳等方法引导学生对表达的异同点进行思考和分析，归纳和认识概念的本质属性，形成概念，最后通过例题、习题的练习回归对概念的了解. 简单来讲，这是一条“依据感知—形象表达—概括本质属性—形成概念—实践运用”从形象思维引出抽象思维的完整的培养途径，也是一个概念教学的过程. 这个途径或过程不仅能培养学生的数学核心素养，也符合学生认知发展的规律.

策略在高中数学教学中的实践应用

在实践教学中，随着培养思路的指向，笔者在此还要明确几点：第一，情境创设要选取与概念内容密切相关的、典型的和学生的实际生活有联系的素材. 第二，对学生的情境反应可在课前先做预备，针对性的问题可以避免课堂时间的浪费. 第三，虽然学生思维能力的差异化是现实存在的，但是在“形象表达”环节教师不能有所表现，尽量让不同层次的学生都有表达机会，让学生思維的异同点更多地显示出来. 第四，在使用各种方法引导学生概括本质属性时，在关键点要起到引导、提醒作用，而不是完全依托学生自主探索. 笔者在本文以“函数及其表示”为例，对策略在高中数学教学中的实践应用进行说明.

在初中，学生已经学习了三种函数的表示方法——列表法、图像法、解析式法，这三种函数的表示方法在学生的思维中可以说是非常深刻的，在人教版必修1“函数及其表示”教学中，当笔者提出函数定义的时候，大部分学生首先想到的就是这三种函数的表示方法. 甚至有学生认为，只有这三种表示方法的才是函数，除此之外就不是函数. 笔者认为，这对学生来说，并非太大的错误，因为他们在初中所接触的函数就是这样的——数集到数集的三种对应关系，他们并不了解对应关系是多变的，并非只有这三种. 因此，在高中函数定义的教学中，首先就是要让学生明白他们所了解和掌握的并非函数的全部本质属性——数集到数集上的对应关系、随处定义、单值定义[2]，而只是本质属性的一部分. 这不仅可以引起学生的新知碰撞，也可以解决多数学生的疑问：“为什么初中学了函数的概念，高中还要学呢？”（学生言语）笔者对此设计了几个主要问题：

（1）回顾初中对函数的定义;

（2）如果你有一张电影票，你想到了什么？

（3）思考：y=1（x∈N）是函数吗？y=x与y=是同一函数吗？

（4）A，B是两个非空数集，其元素之间存在一些对应关系，如图1.

①它们的对应关系分别是什么？如果数集A的元素用x表示，数集B的元素用y表示，那么你能用初中所学的三种表达方法表示数集A和数集B的关系吗？

②这三个对应关系有什么共同点？

（5）下列数集M到数集N的对应关系，不是函数的是（  ）

在整个问题设计中，问题（1）和问题（2）通过学生已经学过的知识和实际生活的体验，从对应关系的角度初步接触函数的定义. 问题（3）引出新旧知识的认知冲突，将学生的思维引向课题——函数的定义，在此向学生表明：仅以函数的表达式无法确定函数的定义，我们需要重新对函数进行定义. 问题（4）的第一小问通过形象直观的图示让学生进一步理解函数定义中的对应关系，并以此与初中的认知产生了联系，可以巩固学生对函数对应关系的理解;通过对第二小问的思考，开始逐步引出函数定义的三大本质属性，抛弃非本质属性，将学生引向函数定义的概括和总结. 问题（5）从正反两个层面，将函数的概念应用于实践案例上，巩固学生对函数概念本质属性的认识和了解. 从整体来看，问题（1）到问题（5）正是从形象思维引出抽象思维的培养途径.

在数学概念教学中，对学生抽象思维的培养其实是围绕“依据感知—形象表达—概括本质属性—形成概念—实践运用”这一主线，在教师的引导下对教材内容进行观察、归纳、概括、运用的过程. 在这个过程中，抽象思维的培养很明显离不开形象思维的培养，因此只有两者都让学生掌握了才可能真正达到对教材内容的把握.

参考文献：

[1]   贺善侃.形象思维·抽象思维·科学认识[J]. 复旦学报（社会科学版），1998（04）.

[2]   吴晓涛.学习数学概念时要把握其本质属性[J].考试周刊，2012（83）.

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