HPM视角下的初中数学教学设计探索

翟恩国

[摘  要] 数学的每一个知识点都不是凭空产生的，都有其独特的背景和史料，如果教师在教学中多为学生介绍一些数学史内容，也能较好地满足学生的求知欲，让学生体会到数学是一门生动有趣、不断发展的学科，学生很有可能就会因此喜欢数学，开启一段不一样的数学趣味学习之旅.

[关键词] 初中数学;HPM视角;教学设计

数学史家M·克莱因提出了“历史是数学的指南”这一观点，他认为，历史将知识的来源与演变完整地呈现出来，回顾历史，我们能看到人类对知识的探究越来越深入，这样有助于我们在学习抽象知识的同时把握知识提升的关键. 数学史有着回望性和前瞻性，这也是数学史之所以能够推动数学发展的动因. 开展数学史的渗透教学不仅能帮助我们追溯数学的本源，也能提高学生学习兴趣，促进学生对知识的深入理解和教学目标的实现. 当前，初中数学更多的是对知识结构的教学，对数学本质的探究教学涵盖很少.

HPM视角下的初中数学教学

价值

1. 调动学生学习热情

数学的历史十分丰富，初中数学教材也引入了一些数学史的内容，但教师在教学中重点关注的是知识逻辑结构，对知识的形成、文化背景很少去讲解，这也是很多同学觉得数学枯燥的原因. 数学的每一个知识点都不是凭空产生的，都有其独特的背景和史料，如果教师在教学中多为学生介绍一些数学史内容，也能较好地满足学生的求知欲，让学生体会到数学是一门生动有趣、不断发展的学科，学生很有可能就会因此喜欢数学，开启一段不一样的数学趣味學习之旅.

2. 培养学生良好品格

在初中数学教学中，让学生掌握基本知识与技能固然重要，但学习数学知识中蕴含的人文精神同样重要，这对培养学生优秀品质很有帮助. 数学有着辉煌的发展历史，在数学史上有着很多优秀的数学家，如华罗庚、阿基米德、高斯等等，他们完全可以作为学生学习的榜样. 如教师可以为学生介绍华罗庚的故事，向学生展示榜样身上的优秀品质，激励学生在学习中以榜样为目标，不断地向榜样学习. 学习数学名人故事也能让学生意识到，学习的道路并不是一帆风顺的，面对学习和生活中的困难，我们要做的是迎难而上，努力克服. 这些优秀品质会随着数学史的学习而深入学生的思想，成为健全学生人格的重要组成.

3. 提高教师教学效率

江苏省教学名师蔡宏圣指出：“个体的发育与其种族的发展往往存在相似的地方. 这种现象在数学学习中同样适用，也就是说学生学习数学的过程与数学史的发展过程是类似的. ”

历史的相似性告诉我们，学生在学习概念、公式、数学思想中出现的认知障碍和错误其实历史上的数学家们也遇到过. 学习数学史能够帮助学生诊断错误的原因，解决学习中存在的障碍，也便于教师制定更有针对性的教学计划，提高教学效率.

HPM视角下的初中数学教学

案例

结合对HPM理论的研究和教学实践，笔者设计了“负数”相关内容的教学设计，具体流程如下.

1. 借助数学史料，进行情境引入

在教学之初，教师引导学生回顾了一些数字，0，1，2，3，并为学生讲解了数字的由来：“在没有发明数字计数之前，人们计数是通过打绳结、摆算筹等方式来计数的，后来为了使用更加方便，于是发明了1，2，3…这些数字;由于需要数字表示‘没有’，于是就发明了‘0’;后来，在计算和测量中发现所出现的数字并非都是整数，于是发明了分数. 可见数字的产生和发展都是为了服务于生活. 今天我们要学的也是一种数，叫负数. ”

教学设计思路是从学生已有认知出发，引入数学史帮学生回顾数字的发展，然后引入新知，完成新知的过渡.

2. 引导数学探究，形成负数概念

（1）感知负数产生的必要性

在引导学生思考负数的产生时，先设计了一个关于分数的问题导入：“有3个小孩分4个苹果，要想平均分配，每个小孩分得多少个苹果？”这个问题对初中生来说没有任何难度，于是教师进行了一点小变通：“能不能让每个学生分得的苹果是整数个？请列方程求解. ”

学生很快列出了方程，设每个小孩分得苹果x个，根据题意列出方程3x=4，解出x. 求解中大家发现结果不可能是整数，如果要求结果是整数那么方程就是无解的，为了让方程有解，分数也因此被纳入了数系的体系. 引入了分数后，任何两个非零整数的除法都能够有解，除法的运算也能较好地实现了.

这个教学设计是先让学生体验分数的产生缘由，所谓一通百通，有了分数的铺垫，学生接受负数的概念也会更加顺畅. 之后，又设计了两个问题：

①张涛有10元钱，他想买一个足球，足球的售价是18元/个，请问张涛想买足球还差多少钱？

②小李今天挣了200元，但买衣服花了230元，请问小李今天净收入多少？

学生很快列出了这两个问题的式子：①18-10=8（元），张涛买足球差8元. ②200-230. 第一个式子很快列出来了，但第二个式子同学们都陷入了沉思，被减数比减数小，不够减该怎么办呢？这种减法学生之前是没有学过的. 鼓励学生思考：在分数没有被发明之前是没有分数的，大家能不能也发明一种数字来解决这道题呢？很多同学预习过了，答出了“负数”这个概念，同时大家也明白了负数的意义，是用来解决被减数比减数大的问题.

这两道问题解决了具体的情境，能帮助学生更好地理解“负数”的意义，学生在解题中积极思考，很多学生思考出了负数的意义，概念的生成也就水到渠成;有些学生没有想出答案，但有了这个思考过程，教师再引入负数的概念学生并不会觉得违和.

（2）学习负数的表示方法

学习了新知后就要进行知识的探索与巩固. 教学中笔者设计了这样的问题：今年初春的某一天，哈尔滨的平均气温是零下5℃，北京的平均气温是2℃，上海的平均气温是5℃，请问这天上海的平均气温比北京高多少？比哈尔滨的平均气温高多少？

关于这道题，第一问学生们很快就解答出来了，上海平均气温比北京平均气温高3℃，用5-2就能够得出. 但是上海与哈尔滨的气温差多少学生们就不知道如何计算了，也用减法吗？5-5=0，难道两地气温差0℃？可是很明显上海要比哈尔滨气温高，这样求解肯定是不对的. 教师让学生仔细看看这两个温度有什么不同. 大家讨论后发现一个是零上5℃，一个是零下5℃，这两个5是不一样的. 教师建议大家将这两个5区分开来. 这时，学生心里产生了对负数的心理需求.

这样，以问题为引导，设计了问题冲突，激起了学生对负数学习的需求，强化了学生的学习动机. 在学生不解的眼神中开始了讲解：数学上将大于0的数记为正数，将小于0的数记为负数. 所以哈尔滨的平均气温应记为“-5”℃. 有时候为了强调正数，可以在正数前面加一个“+”号.

在这个教学设计中，巧妙地融入了负数的重构，学生理解了负数的构建过程，大家觉得十分有趣.

教师继续进行教学补充：“﹢”“-”这两个符号是近代数学用来区分正负数的方法. 早在1700多年前，魏晋时期数学家刘徽就提出了正负数的计数方法：“今两算得失相反，要令正负以名之. ”这就是说，为了对相反意义数字进行区分，可以采用正数和负数的方法来表述. 而且他还以颜色来表示正负：“正算赤，负算黑”，即用红色算筹表示正数，用黑色算筹表示负数.

在教学设计中，教师为学生介绍了古代人表示正负数的方式，让学生感受古人的智慧，以此来激发学生的求知欲和想象力.

3. 优化例题讲解，推进深度认知

教学中，笔者设计了这样一道例题：某天的天气预报显示，上海明日天气会比当日气温升高2℃，北京的明日气温则会下降1℃，天津明日气温与今日一致，请写出上海、北京、天津三地明天的气温会上升多少.

这道题提问的是会上升多少，所以即使气温下降，也要表达上升了“负多少”，因此，上海、北京、天津三地的气温上升分别是2℃，-1℃，0℃. 这个教学设计通过问题来启发学生思考和解决，在知识迁移中增加对知识的认知. 然后，引导学生进行课堂总结，对负数所学相关知识进行归纳：（1）负数的由来;（2）負数的概念及表达.

教学实践证明，在HPM视角下开展初中数学教学，能够有效地促进学生数学学习情感的提升，能够有效地引导他们深度参与到数学学习中来，从而收到事半功倍的教学效果.

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