关于可解群的三个充分必要条件

何金旅，吴金莲，张 佳

(西华师范大学 数学与信息学院，四川 南充 637009)

1 引言

本文所有的群皆为有限群，所用术语和符号以文献[1-3]为标准．特别地，|G|表示G的阶，π(G)表示|G|的全体素因子的集合.当T≤G时，TG表示T在G中的柱心，即它是包含在T中G的极大正规子群.M<·G表示M是G的一个极大子群.

可解群是有限群论的重要研究对象之一，国内外很多群论学者探讨过与可解群相关的课题. 例如，1937年，Hall[4]证明了G是可解的当且仅当G的每个Sylow子群在G中是可补的.通过减少素因子的个数，1982年，Arad 和 Ward[5]证明了G是可解的当且仅当G的每个Sylow 2-子群和Sylow 3-子群在G中是可补的.利用减弱可补性质，2014年，Heliel[6]证明了G是可解的当且仅当G的每个奇阶的Sylow子群在G中是c-可补充的. 将Sylow子群换成极大子群，1996年，王燕鸣[7]证明了G是可解的当且仅当G的c-极大子群在G中是c-正规的.2014年，郭文彬等[8]得到了G是可解的当且仅当每个极大子群有幂零的迹(或者次正规的迹).

继续以上的研究，减少文献[8]中的定理3.1和定理3.4极大子群的个数，将考察c-极大子群的迹的幂零性质和次正规性质对可解群的影响.

2 基本概念

为了方便，我们在此先列出后面要用到的一些概念和结果.

定义1[8]设A是群G的真子群.称任意的G的主因子H/AG是A的一个G-边界因子或者一个边界因子.对于A的任意G-边界因子H/AG，称子群(A∩H)/AG为A的一个G-迹或者一个迹.这里，AG是A在G中的柱心.

定义2[9]令Fc={M<·G||G:M|是合数},称Fc中的每个元素是G的一个c-极大子群.

定义3[3]令π是一个素数集.称群G是π-幂零的，对于每个素数p∈π，若G是p-幂零的.

引理1[10]假设G是非可解群且具有一个幂零的极大子群M.如果S(G)=1，那么M是G的一个Sylow 2-子群.这里S(G)表示G的最大可解正规群.

引理2[1]设T≤G，且Ω为T在G中的右陪集，那么G/TG同构于Sym(Ω)的一个子群.特别地，如果

|G:T|=n，那么G/TG同构于Sn的一个子群.

引理3[3]G是超可解群当且仅当每个极大子群在G中的指数是素数.

引理4[11]设P是群G的一个Sylow p-子群，p≥5.如果NG(P)/CG(P)是一个p-群，那么Op(G)

引理5[7]G是可解群当且仅当每个c-极大子群在G中是c-正规的.

引理6[12]如果U是群G的一个次正规子群，那么Soc(G)≤NG(U).

3 主要定理

定理1G是可解群当且仅当Fe中的每个元素满足下列条件之一

(1) 具有一个幂零的迹； (2) 具有一个次正规的迹.

证明(1)必要性:因为G是可解群，所以G的每个主因子是交换的，进而，每个极大子群的迹都是幂零的.因此，每个c-极大子群的迹也是幂零的.

充分性：根据已知条件，每个c-极大子群M有一个幂零的迹，所以，存在主因子H/MG满足H∩M/MG是幂零的.

假设G是非交换单群，可推得，MG=1,H/MG=G,H∩M/MG=M.因此，每个c-极大子群M是幂零的.进而，根据引理1，每个c-极大子群M是Sylow 2-子群.显然，|π(G)|≥3.因此，可选取极大素因子p∈π(G)使得p≥5.令P是G的一个Sylow p-子群，且T是G的一个极大子群满足P≤T.由前面分析，|G:M|是素数r，r

假设G不是非交换单群，可选取G的一个极小正规子群L.考虑商群G/L.如果G/L的每个极大子群都具有素数指数，那么根据引理3，G/L是可解的.如果G/L存在c-极大子群，那么对于G/L的每个c-极大子群A/L，可推得A是G的一个c-极大子群.根据已知条件，存在G的主因子R/AG满足R∩A/AG是幂零的.进而，(R/L/AG/L)∩(A/L/AG/L)=(R/L/(A/L)G/L)∩(A/L/(A/L)G/L)是幂零的，这里，R/L/(A/L)G/L是G/L的主因子.因此，对|G|进行归纳，可知G/L是可解的.因为可解群系是饱和群系，所以，L是G的唯一极小正规子群，且LФ(G).如果L是可解的，那么G是可解的.因此，下面假设L不是可解的.

取极大素因子q∈π(N).令Q是L的一个Sylow q-子群，K是G的一个极大子群满足NG(Q)≤K.进而，根据Frattini论断，G=LNG(Q)=LK,KG=1.断言|G:K|=1+kq是合数，k是非负整数.显然

因为|G:K|是合数，所以，根据已知条件，K有一个幂零的迹.由前面过程知KG=1，L是G的唯一极小正规子群.进而，L∩K就是K的幂零的迹，即L∩K是幂零的.因为NL(Q)=L∩NG(Q)≤L∩K，所以，NL(Q)是幂零的，NL(Q)/CL(Q)是一个q-群.根据引理4，可推得OP(L)

(2)必要性：因为G是可解群，所以G的每个主因子是交换的，进而，每个极大子群的迹都是次正规的.因此，每个c-极大子群的迹也是的.

充分性：根据已知条件，每个c-极大子群M有一个次正规的迹，所以，存在主因子H/MG满足H∩M/MG是次正规的.

假设G是非交换单群，可推得，MG=1，H/MG=G，H∩M/MG=M.因此，每个c-极大子群M是次正规的，进而，每个c-极大子群M是正规的.根据引理5，G是可解的，这与假设矛盾.

综上，定理1得证.

定理2G是可解群当且仅当Fc中的每个元素具有一个π(G/E)-幂零的迹，这里E=S(G)或者U(G)或者F(G)，S(G)，U(G)，F(G)分别表示G的最大的可解正规子群，最大的超可解正规子群，最大的幂零正规子群.

证明必要性:根据定理1，每个c-极大子群有幂零的迹，进而，有一个π(G/E)-幂零的迹.

充分性:如果E=1，那么π(G/E)=π(G).根据已知条件，每个c-极大子群有一个π(G/E)-幂零的迹，进而，每个c-极大子群有一个幂零的迹.根据定理1，G是可解群.

综上，定理2得证.

4 结束语

本文主要有两个定理.定理1利用c-极大子群的迹的幂零性质和次正规性质得到了刻画可解群的充分必要条件.定理2利用c-极大子群的迹的π(G/E)-幂零性质也得到了刻画可解群的充分必要条件.定理1和定理2推广了文献[8]中的相关结果.