半局部环的同调性质及其应用

李艳午,邓瑞娟

(芜湖职业技术学院 基础教学部,安徽 芜湖 241003)

1 引言

一个可交换的含幺环R称为半局部环，如果R只有有限个极大理想[1].半局部环是局部环的自然推广，是一类概括更广的环，例如：除环、域、有限环、Frobenius环、QF环、阿丁环、完全环、半完全环都是半局部环.由于局部环在环论本身以及代数几何中的重要作用，所以半局部环从某种程度上加强了局部化技巧在这方面的作用.Rosenberg.J和佟文廷分别在文献[2]和[3]中研究了半局部环的同调性质.陈焕艮和冯良贵分别在文献[4]和[5]中从不同角度对半局部环进行了刻画.文献[6]研究了半局部有限剩余域环上二次型的 Artin-Springer 定理，给出了半局部环的一个深刻的结果；而文献[7]则对半局部环进行了推广，拓展了半局部环的研究空间.

本文讨论在可换环上的可逆模的投射盖是阿丁的、J(R)是诣零根、每个正则模是有限长度的情形下，环的半局部性、各情形下相应环的同调性质及连通环在半局部条件下的刻画.

不加说明的话，文中的环都是可交换的含幺环，其他相关数学符号的含义参看文献[1]、[2]和[3].

2 半局部环的同调性质

设M和P都是R-模，其中P是投射模，如果存在一个多余的满同态θ：P→M，即kerθ是P的多余子模，那么称(P，θ)为M的投射盖[2]，有时候也简记为P.这一概念最早是由Bass在文献[8]中提出，R-模范畴上的投射盖与内射包理论对于刻画模的性质具有重要作用.首先就从可换环上模的投射盖性质来构造环的半局部性，进而研究这种环的幂级数环、主理想整环的性质和它的同调性质.交换环R称为UCP环，如果a1R+a2R+…+anR=R，则存在可逆矩阵U其第一行为(a1，a2，…，an).

定理1 设R是一个可交换环，如果存在一个可逆的R-模M它的投射盖是阿丁模，那么有以下结论：

(1)R[[x1，x2，…，xn]]是UCP环；

(2)R的主理想整环是欧式环；

(3)存在n∈N，使得K0R≌Zn；

(4)若G是有限群，则存在n∈N，使得K0RG≌Zn.

证明首先，根据文献[4]的定理3可知，如果存在一个可逆的R-模M它的投射盖是阿丁模，那么R就是半局部环.接下来，逐条证明结论(1)-(4).

(1)由于半局部环模去J(R)的商环同构于若干个域的直和，所以存在域F1，F2，…，Fn，

使得R/J(R)≌F1⊕F2⊕…⊕Fn.由于域都是主理想整环，所以Fi都是UCP环，而有限个UCP环的直和还是UCP环，并且R/R(J)也是UCP环，从而R是UCP环.作环同态：

φ：R[[x1，x2，…，xn]]→R，φ(x1，x2，…，xn)φ(0，0，…，0)；

ψ：R→R[[x1，x2，…，xn]]，rr

.

不难验证φψ=1R，最后根据[9]的定理1.3.8，可知R[[x1，x2，…，xn]]是UCP环.

(2)设P是环R的主理想整环，则存在域F1，F2，…，Fn，使P/J(P)≌F1⊕F2⊕…⊕Fn.

由于域是稳定环，所以P/J(P)是稳定环，从而P是稳定环.由文献[9]的命题1.3.16可知，稳定的主理想整环都是欧氏环,由此可得P是欧式环.

(3)由于R是半局部环，所以存在域F1，F2，…，Fn，使得R/J(R)≌F1⊕F2⊕…⊕Fn.

根据域上K0群的性质，可知K0(R/J(R))≌Zr.作自然投射φ：R→J(R)，则有群的单同态

K0φ：K0R→K0(R/J(R))≌Zr.

由于有限生成自由阿贝尔群的子群还是有限生成自由阿贝尔群，所以存在n∈N，使得K0R≌Zn.

(4)根据文献[3]的推论3.4，可得结论成立.

由于半局部环包括了除环、域、有限环、Frobenius环、QF环、阿丁环、完全环、半完全环，所以根据上面定理有下面的推论.

推论2 如果R是除环、域、有限环、Frobenius环、QF环、阿丁环、完全环、半完全环中的任何一类环，那么R都有定理1中的四个结论.

环R的理想I称为诣零的，如果对任意的x∈I，存在n∈N，使得xn=0.群G称为无挠群，如果G的非平凡元素的阶都是无限的.下面的定理将探讨在可换环R的根J(R)是诣零的条件下，R的多项式环的K0群的无挠性.

定理3 设R是一个可交换环并且J(R)是诣零的，如果存在一个可逆的R-模M，它的投射盖是阿丁模，那么K0R[x1，x2，…，xn]是无挠群.

证明由定理1可知R是半局部环.所以，存在域F1，F2，…，Fn，使得R/J(R)≌F1⊕F2⊕…⊕Fn.于是

(R/J(R))[x1，x2，…，xn]≌F1[x1，x2，…，xn]⊕F2[x1，x2，…，xn]⊕…⊕Fn[x1，x2，…，xn].

所以

K0(R/J(R))[x1，x2，…，xn]≌K0F1[x1，x2，…，xn]⊕K0F2[x1，x2，…，xn]⊕…⊕K0Fn[x1，x2，…，xn].

而域都是主理想整环，所以有K0(R/J(R))[x1，x2，…，xn]≌Zn.令：

φ：R[x1，x2，…，xn]→(R/R(J))[x1，x2，…，xn]，

则kerφ=J(R)[x1，x2，…，xn].因为J(R)是诣零的，所以kerφ也是诣零的，从而有kerφ⊆J(R[x1，x2，…，xn]).于是有群的单同态：K0φ：K0R[x1，x2，…，xn]→K0[R/J(R)][x1，x2，…，xn]，

从而K0φ：K0R[x1，x2，…，xn]同构于有限生成自由Z-模Zn的子模.由于Z是主理想整环，所以存在m∈Z使得K0R[x1，x2，…，xn]≌Zm，于是K0R[x1，x2，…，xn]是无挠群.

类似地，可以证明下面的推论：

推论4 设R是一个可交换环并且J(R)是诣零的，如果存在一个可逆的R-模M，它的顶是阿丁模，那么K0R[x1，x1-1，x2，x2-1，…，xn，xn-1]是无挠群.

可交换环R称为ID环，如果对于任意的A2=A(∈Mn(R))，存在U∈GLn(R)，使得UAU-1是对角矩阵.下面将从半局部环与ID环、UCP环的关系探讨环R上的有限生成自由模的刻画.

定理5 设R是除环、域、有限环、Frobenius环、QF环、阿丁环、完全环、半完全环中的任何一类环，P是一个左R-模，则下列条件等价：

(1)P是有限生成自由R-模；

证明根据推论2，R是半局部环.由文献[9]的命题4.1.30知R是ID环，从而R是UCP环.

(1)⟹(2) 是显然的.

(2)⟹(3) 根据Bass-Gualnick引理[8]易证.

如果R是有限个局部环的直和，那么称R为局部可分解环，下面定理研究局部可分解环与有限生成阿贝尔群的群环的无挠性.

定理6 设R是局部可分解环，如果J(R)为诣零的并且charR≠0，G为有限生成阿贝尔群，那么K0RG为无挠群.

证明假设R是局部可分解环，不妨设R=R1⊕R2，Ri(i=1，2)为局部环，M是R的极大理想.首先：令π1：R→R1；π2：R→R2为投射，则对任意的r∈R1，m∈M，都有rπ1(m)=π1(rm)∈π1(M)，于是π1(M)是R1的理想，同理π2(M)是R2的理想.其次：由于M是R的极大理想，所以M是R的素理想.令1=e1+e2，则e1e2=0∈M，于是e1∈M或者e2∈M.由e1∈M可得R1∈M，R1=π1(M)；由e2∈M可得R2∈M，R2=π2(M).由于对于任意的m∈M，m=m1⊕m2，m1∈R1，m2∈R2，于是m1=e1m1=e1m∈M；同理，m2∈M.进而M=π1(M)⊕π2(M).而π1(M)=R1和π2(M)=R2中至少有一个成立，所以有M=π1(M)⊕R2或M=R1⊕π2(M).最后由M的极大性，可知当M=π1(M)⊕R2时，π1(M)∈maxR1，当M=R1⊕π2(M)时，π2(M)∈maxR2.综上，可知R是半局部环.

由R是半局部环可知，存在域F1，F2，…，Fn，使得R/J(R)≌F1⊕F2⊕…⊕Fn，从而(R/J(R))G≌F1G⊕F2G⊕…⊕FnG.又因为charR≠0，所以charFi≠0，i=1，2，…，n.

于是K0(R/J(R))G≌K0F1G⊕K0F2G⊕…⊕K0FnG为无挠群.令

由J(R)为诣零的可得kerφ⊆J(R)G⊆N(R)G⊆J(RG)，进一步地，有K0φ：K0RG→K0(R/J(R))G是群的单同态，所以K0RG为无挠群.

满足主理想升链条件的环记作ACC环，如Noether环就是左AAC环，交换环R称为连通环，如果由e=e2∈R可以推出e=0或e=1.AAC环是一类在环类刻画中应用很广的环.下面的定理就是利用正则模的有限长度导出链条件，进而给出连通环的一个刻画.

定理7 设R为可换环，如果R的正则模有有限长度，那么R为连通环当且仅当R的有限生成投射模均为稳定自由模.

证明如果R的正则模有有限长度，那么根据文献[10]第327页的定理3可知R是ACC环，并且KdR=0，从而R的所有素理想既是极大素理想又是极小素理想.又因为R满足ACC条件，所以R只能有有限个极小素理想，所以R是半局部环.

一方面，若R为连通环，则K0(K0R)≌Z，由R是半局部环可知K0R≌Zn，从而K0(K0R)≌K0Zn≌Zn.于是Zn≌Z.再由Z是IBN环可知n=1，故K0R≌Z.所以R的有限生成投射模均为稳定自由模.

另一方面，R的有限生成投射模均为稳定自由模，则由连通环的定义可证.

如果对于任意的R-模A，B，C，由A⊕B≌A⊕C都可以推出B≌C，那么称环R上的模满足消去性质.下面的定理研究的是由环R的(半)单模的直积的半单性推出环R上模的消去性质.

定理8 设R是一个可交换的含幺环，如果R满足下列条件之一：

(1)每个单左R-模的直积是半单的；

(2)每个半单左R-模的直积是半单的；

(3)对任意左R-模M，soc(M)={m∈M|(radM)m=0}.

那么有下列结论成立：

(a)A是有限生成的投射右R-模，对任意的右R-模B，C，由A⊕B≌A⊕C可以推出B≌C；

(b)m，n∈N，由Rn≌Rm可以推出m=n；

(c)任意有限生成(或稳定自由)R-模都是自由的；

(d)对任意的n≥1，Mn(R)是Dedekind有限的.

证明首先，根据文献[2]的EX20.1可知如果R满足条件(1)-(3)中的任何一条，那么R就是半局部环.下面逐条证明结论(a)-(d).

(a)对于n∈N，取一个右R-模A′满足A⊕A′=Rn.那么由A⊕B≌A⊕C推出Rn⊕B≌Rn⊕C.再根据文献[2]的定理20.11可证B≌C.

(b)假设存在m，n∈N，n>m，Rn≌Rm，则Rn-m=0，所以m=n除非R=0.

(c)假设P⊕Rm≌Rn.如果n

(d)令α，β∈Mn(R)满足αβ=I(单位矩阵).则α定义了一个右R-模的满射：Rn→Rn，并且通过β：Rn→Rn可分裂.于是，有一个同构Rn≌Rn⊕ker(α).消去Rn则有ker(α)=0，所以α：Rn→Rn是一个同构，也即α是Mn(R)中的一个单位元，因此有βα=I.

推论9 设R是一个可换环，如果R满足下列条件之一：

(1)存在一个可逆的R-模M，它的顶是阿丁模；

(2)R的正则模有有限长度；

(3)R/J(R)是左阿丁环；

(4)R有有限个极大左理想；

(5)每个单左R-模的直积是半单的；

(6)每个半单左R-模的直积是半单的；

(7)对任意左R-模M，soc(M)={m∈M：(radM)m=0}.

那么，有以下结论：

(a)R/R(J)为k个域的直积，其中k为R的极大理想的个数；

(b)R=R1⊕R2⊕…⊕Rn，其中Rj为联通的半局部环，j=1，2，…，n，n≤k；

(c)K0R≌Zk⟺Rj均为局部环⟺Rj为半完全环，j=1，2，…，n.

证明根据前面的结论可知R满足(1)-(7)中之一，R就是半局部环.再根据文献[3]的定理4.2即证.

环的同调维数往往能够更加深刻地刻画其同调性质，文献[11]通过对半局部环上的正交维数讨论得到了关于半局部环的同调性质；文献[12]通过对半完备、半正则、半局部关系的研究，刻画了环的δ-完备性，启发了半局部环进一步研究的思路.