利用三面角判断空间角的大小*

广东省佛山市罗定邦中学 (528300) 肖芳芳 龙 宇

2019年浙江卷的第8题涉及到了所有的空间角(线线角、线面角、以及二面角)，且没有涉及具体的运算，而是对于三个角大小的判断，考察考生们的空间感，很好地体现了“直观想象”等核心素养.近期笔者将该问题做为练习给学生使用，但学生们普遍感觉没有思路，觉得没有任何数据很难判断.基于此，笔者在教学过程中介绍了三面角模型进行求解，现整理成文，以飨读者.

一、题目

设三棱锥V-ABC的底面是正三角形，侧棱长均相等，P为棱VA上的点(不含端点)，记直线PB与直线AC所成角为α，直线PB与平面ABC的所成角为β，二面角P-AC-B的平面角为γ，则( ).

A.β<γ,α<γB.β<α,β<γ

C.β<α,γ<αD.α<β,γ<β

二、三面角模型

图1

如图1，三面角是由具有公共端点的不共面的三条射线，以及任两条射线所成的角的内部构成的空间图形.公共端点称为三面角的顶点，三条射线称为三面角的棱，两棱所夹的平面部分(角)称为三面角的面(角).过每一条棱的两个面所成的二面角称为三面角的二面角.

关于三面角有两个重要定理：正弦定理，余弦定理.这两个定理可视为三角形正、余弦定理的空间形式.本文不直接使用这两个定理解决上述问题，仅借此模型介绍一个相关结论.

图2

三、问题解析

图3

如图3，三棱锥V-ABC的底面是正三角形，侧棱长均相等，所以二面角P-AC-B的平面角与二面角P-BA-C的平面角相等，都记为γ.考虑三面角B-PAC，根据上述结论sinβ=sinγ·sin∠PBA

图4

直线PB与直线AC为异面直线，如图4，设AB,BC,AP的中点分别为D,E,Q，设二面角Q-DE-A的大小为φ.考虑三面角D-EAQ，根据上面的结论sinβ=sinα·sinφ

四、三面角的正、余弦定理

关于三面角模型，除了上面的应用外.还有两个常用的定理，分别是正弦定理与余弦定理.这两个定理直接讨论空间角之间的关系，绕过了复杂的逻辑推理以及辅助线的建立.对于空间角的求解有奇效.现简介如下：

三面角的余弦定理：三面角的一个面角的余弦，等于其余两个面角的余弦之积加上这两个面角的正弦与这两个面角所夹的二面角的余弦的连乘积.设三个面角V-ABC的三个面角的度量分别为α,β,γ，它们所对的二面角分别为A,B,C，则有cosα=cosβcosγ+sinβsinγcosA.

五、经典高考题目回顾

例1 (2015高考浙江理8)如图5，已知△ABC，D是AB的中点，沿直线CD将△ACD折成△A′CD，所成二面角A′-CD-B的平面角为α，则( ).

图5

A.∠A′DB≤α

B.∠A′DB≥α

C.∠A′CB≤α

D.∠A′CB≥α

解析：考虑三面角D-A′CB，设∠A′DC为θ，则有∠BDC为π-θ，且在翻折的过程中，两个角的大小不变.根据三面角的余弦定理可得cos∠A′DB=cosθ+cos(π-θ)+sinθ·sin(π-θ)cosα=cosθ-cosθ+sinθ·sinθ·cosα=sin2θ·cosα≤cosα,由此可得∠A′DB≥α，故选B.

例2 (2018高考浙江理8)已知四棱锥S-ABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点(不含端点)，设SE与BC所成的角为θ1，SE与平面ABCD所成的角为θ2，二面角S-AB-C的平面角为θ3，则( ).

A.θ1≤θ2≤θ3B.θ3≤θ2≤θ1

C.θ1≤θ3≤θ2D.θ2≤θ3≤θ1

图6

解析：如图6，过点E作BC的平行线交CD于点F，则有∠SEF为θ1，考虑三面角：E-SAF，设二面角S-EF-A的大小为α，根据本文中的模型可得sinθ2=sinθ1·sinα≤sinθ1，即可得θ2≤θ1；再次利用该模型可得sinθ2=sinθ3·