导数中的“摸着石头过河”——以2020山东新高考数学导数压轴题为例

厦门大学附属实验中学 (363123) 林秋林

一、问题的提出

例1 (2020·新全国Ⅰ山东)已知函数f(x)=aex-1-lnx+lna．

(1)当a=e时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；

(2)若f(x)≥1，求a的取值范围．

试题的难点在第(2)问，这是一道“已知含参不等式恒成立进而求参数范围”的类型题，是函数导数压轴题中的热点问题，其通法是分离参数法或分类讨论法．但该题的参数无法分离，而利用分类讨论法，其如何分类也是个难点．虽然还可以利用同构思想来做等价变形，但难度也较大，不容易想到．故而不少学生在做简单尝试之后就会凭经验果断放弃，因此笔者想借此机会谈谈另外一种方法，即所谓“摸着石头过河”，同时不惴肤浅，付诸笔端，愿各位老师指正.

二、如何“摸着石头过河”？

生活中常说的“摸着石头过河”指的是若想过一条不熟悉的河，在没有前人给出经验、没有船也没有桥等情况下，要分清这条河哪个地方水深，哪个地方水浅，最好的方法就是以身试水摸索着河里的石头，一步步摸清情况从而安全过河．这个“过河”的思路在数学解题中也是适用的，就是解题不要盲无目的，要先想办法“摸到河里的石头”，也即必要性探路，然后再“循着石头去过河”，就能做到事半功倍．

大家都知道，导数是高中数学中的一个重要考点，导数和函数的综合问题几乎每年都成为高考以及各省市模拟考中的压轴题．对于这些压轴题，大部分学生解决起来都较为困难．但对于其中某些恒成立问题，若能恰当应用“摸石头”的思路，想办法探探必要性，尽量对其中的参数范围进行限制，则解决起来会相对容易得多．下面笔者举几个例子来谈谈具体操作．

例2 已知函数f(x)=-x3+x2+b，g(x)=alnx.

(2)若对任意x∈[1,e]，都有g(x)≥-x2+(a+2)x恒成立，求实数a的取值范围.

例3 已知f(x)=ex-ax2-2x+b(e为自然对数的底数，a,b∈R)．

(1)设f′(x)为f(x)的导函数，证明：当a>0时，f′(x)的最小值小于0；

(2)若a<0，f(x)>0恒成立，求符合条件的最小整数b．

解析：(1)略；(2)依题意，由f(x)>0恒成立，可知f(0)=1+b>0，从而b>-1．下证b=0符合题意．

评注：本题的标准解答是通过虚设f′(x)的零点，求出f(x)的最小值，最后再求出b的取值范围．难度较大，学生掌握起来较为困难．但借助f(0)这块“石头”去限制b的取值范围后，就能较为轻松解决该题，让人眼前一亮.

三、问题的解决

下面利用“摸着石头过河”来解决例1．

综上所述，a的取值范围为[1,+∞)．

图1

评注：本题中的“石头”较多，有f(1)，g(1)，h′(1)等等．其实要摸到这几块“石头”，只需要注意到第(1)小问中的点(1,f(1))，这可以看作是一个变相的提醒．实际上也是因为函数y=ex-1与y=lnx+1的图象恰好相切于P(1,1)这个点，而y=x是它们的公切线．如图1所示，可以看到有ex-1≥x≥lnx+1．

四、结束语

俗话说，“摸着石头过河——步步稳妥” ．在这类导数压轴题中，教师可以通过指导学生寻找“河中的石头”，让学生“摸着石头过河”．这个思路不仅可以为学生探明“河”的深浅、找到“过河”的方向，使学生能更加安全顺利地“过河”，还能在这过程中让学生从中享受到“过河”的乐趣，从而提高学生的解题兴趣，可以说其不失为一种好的选择．