巧定“界点”妙讨论：导数解答题的破解策略

重庆市璧山中学 (402773) 杨 帆

导数解答题是历年高考数学中重点考查的数学题型之一，经常作为压轴题形式出现，其主要特点是思维量大、运算繁琐、区分度高开.而其求解往往离不开对参数的分类讨论，如何巧妙确定分类讨论的“界点”，是成功破解导数问题的策略所在.本文结合实例，就常见的几类巧定“界点”方法加以剖析．

1．巧借二次项系数，妙定讨论“界点”

例1 (2021届“决胜高考”高三新高考八省第一次模拟测试题)已知函数f(x)=lnx+ax(a∈R)．

(1)当a=-2时，求函数f(x)的极值；

评注：涉及的导函数中含有二次三项项，需要对最高项的系数进行分类讨论，根据二次项系数是否为0，判断函数是否为二次函数；由二次项系数的正负，判断二次函数图象的开口方向以及相应的特征，从而寻找导的变号零点，为分类讨论的“界点”确定定下基调．

2．巧借判别式，妙定讨论“界点”

例2 (2019年武汉外国语学校模拟题)已知函数f(x)=(1+ax2)ex-1(a∈R)，其中e为自然对数的底数．

(1)当a≥0时，讨论函数f(x)的单调性；

(2)求函数f(x)在区间[0，1]上零点的个数．

解析：(1)f′(x)=(ax2+2ax+1)ex，当a=0时，f′(x)=ex≥0，此时f(x)在R单调递增；当a>0时，判别式△=4a2-4a.

①当0

x(-∞,x1)x1(x1,x2)x2(x2,+∞)f′(x)+0-0+f(x)↗↘↗

评注：通过对涉及函数进行求导，要判断导函数是否有零点(或导函数分子能否分解因式)，特别在导函数是二次函数或与二次函数有关的问题时，此时涉及二次方程问题就要结合判别式△与0的大小关系来分析，利用这个关系讨论的“界点”进行分类讨论．

3．巧借导函数零点，妙定讨论“界点”

(1)当a=0时，求函数f(x)的单调减区间；

(2)已知函数f(x)的导函数f′(x)有三个零点x1，x2，x3(x1

列表如下：

x(-∞,-13a)-13a(-13a,13a)+13a(13a,+∞)g′(x)+0-0+g(x)↗极大值↘极小值↗

由于g(x)有三个非零的零点，所以

评注：根据导函数的零点来确定分类讨论的“界点”时，一定要在函数的定义域内加以分析．借助导函数的零点划分对应的函数定义域，既要考虑导函数零点是否在定义域内，还要考查多个零点的大小问题，如果多个零点的大小关系无法确定，也需要进行分类讨论．

实际上，分类讨论破解导数问题中，“界点”的确定变化多端，只有抓住这几类常见类型，灵活多变，合理转化，综合运用分类讨论思想，巧妙通过导数求解函数的单调区间、参数范围、极值、最值以及恒成立等才能将问题顺利求解．