例析特值法在数学解题教学中的应用

浙江省海宁市丁桥中学 (314400) 许 佳 陈振锋

英国数学家怀特海认为：“数学的本质是不断地抛弃较特殊的概念，寻求较一般的概念；抛弃特殊的方法，寻求一般的方法．”确实，从认识论的角度而言，数学的本质就是寻找“多”中之“一”，以最为普遍和一般的方式来解决一系列特殊问题．然而，我们在解决实际问题时，常常可以反其道而行之，即通过考察问题的特殊情况，来获得一般性的结论，这种方法我们称之为特值法．

1.特值法的逻辑依据

特值法并不是某种变相的“猜测”，它有着严格的逻辑依据，这个逻辑依据我们可以用形式逻辑的三段论来表述：如果一个普遍性问题的解是唯一的(大前提)，那么，一旦得出其中的某一特殊解(小前提)，则这一特殊解也必然是一般解(结论)．用数学语言表述为：对一个只有唯一解的普遍性问题Q，表示为Q{a1,a2,…,an}．如果Q(ak)=m,且ak∈{a1,a2,…,an}，则Q{a1,a2,…,an}=m．

由此可见，特值法最为严谨的应用是在选择题，因为数学单项选择题的唯一解，这正好符合特值法的逻辑大前提．另外，从严格意义上来说，填空题未必完全符合这一逻辑大前提，但由于数学填空题本身出题的特殊性，我们依然有可能帮助学生学会如何判断出这一问题是否适合使用特值法，并以最高效的方式解决难题．

二、特值法中的数学思维

我们必须承认，特值法确实存在忽视解题过程的问题，有碍于提高学生演绎推理的思维能力．但是，数学思维并不仅仅是演绎，它实际上还包括归纳思维、创造力思维、极限思维等等，而特值法对于提升这些思维能力极有帮助．

例1 如图1，已知△ABC∽△DEF，相似比为

图1 图2 图3

分析：本题为解我校中考模拟卷的一道选择题．通过审题我们会发现，本题中的两个三角形虽然形状和大小已经确定，但它们的位置关系却存在着相对的任意性，即只需符合EF∥BC即可. 由此可见，这显然是一个具有唯一解的普遍性问题，我们可以通过调整两个三角形的位置来寻求特殊解．

评注：本题中，许多学生因看到△DEF在△ABC的左侧，便没有想到可以把△DEF放到△ABC的下方，并且还可以将D点取在BC的中点位置．另外，在教学过程中，笔者惊奇地发现，有些学生竟然找到了一种更为特殊的图形结构，并且其解题过程远比图2简单，如图3．此时的EF和BC不再是平行，而是重合．可见，有些学生已经开始具备良好的极限思维，因为从极限的角度来说，我们确实可以把重合理解为一种特殊的平行，故而这种解法依然成立．

例2 如图4，点O为直线AB外一定点，点P线段AB上一动点，在直线OP右侧作Rt△OPQ，使得∠OPQ=30°，已知AB=3，当点P从点A运动到点B时，点Q运动的路径长是.

图4 图5 图6

评注：此题的教学过程中，笔者依然看到不少学生展现出良好的极限思维．可选择将O点与A点重合如图6，快捷的方式求出答案．

三、特值法解题的一般步骤

有些教师认为，特值法走了太多的捷径，如果在平时的练习中过多使用特值法，学生的演绎推理能力便得不到很好的培养. 对于这一点，笔者是极为认同的．但是，需要强调的是，要正确有效地使用特值法，对学生来说，并非易事．因为特值法中蕴含的是归纳思维、创造性思维以及极限思维等优良品质．笔者按照特值法的逻辑依据试着总结出运用特值法的一般方法．

(1)判断

首先需要判断题目是否符合普遍性，同时还需要判断是否是唯一解．这种能力的培养必须通过大量的经验积累才可以获得，唯有如此，才能建立用特值法解题的意识．

(2)寻找特殊情况

此步骤需要学生找出符合题意的特殊情况．这一点在实际教学过程中是比较困难的．

例3 如图7，正方形ABCD，正方形BEFG和正方形PKRF的位置如图所示，点G在线段DK上，正方形BEFG的边长为4，则△DEK的面积为.

图7

图8

分析：在本题中，正方形ABCD和正方形PKPF的大小存在着任意性，因此，可通过特殊值求解．如图8，令正方形ABCD的边长等于8，正方形PKPF的边长等于4，则△DEK的面积等于16．

图9

评注：在此题中，有学生还可能会运用特值法构造出图9，在这种情况下△DEK的面积等于8．这些学生显然没有注意到“点G在线段DK上”也是一个极为重要的条件．寻找特殊情况，必须符合题目的所有条件，一旦忽略了一些看似不重要的条件，就有可能导致错误．这一点，恰恰是在特值法教学中特别需要强调的．