浅析对数函数的数学价值*

湖南科技大学数学与计算科学学院 (411201) 易娓娓 陈佘喜

新修订的 《普通高中数学课程标准》 明确提出了要通过数学教学，发展学生数学学科的核心素养，要不断引领学生感悟数学的科学价值、应用价值、文化和审美价值[1].教师在传授知识和技能的过程中，应该注重知识性、趣味性和思想性的统一，将科学素质教育与人文素质教育有机融合，提高教学的实效性.对数函数是建立在对数基础之上的一类重要的基本初等函数，也是中学数学中函数教学的难点之一.本文试图从科学价值、应用价值、文化和审美价值等方面就对数函数的数学价值做一个简单的分析，使学生感悟对数函数的数学价值，并希望在使学生理解对数与对数函数的概念、把握对数函数的本质的同时，学生的数学核心素养也能得到发展.

1.对数函数的科学价值

恩格斯认为“数学是研究现实世界中数量关系与空间形式的一门科学”.数学科学不仅推动人们更深入地认识客观世界的变化规律，也是人类智慧的一种表达方式.现代数学的知识体系是用公理化方法和逻辑构建起来的，其重要概念都是通过抽象客观事物在数量关系和空间形式上的本质特征进行概括，采用形式化的符号语言来表述的.

对数函数的定义式y=logax(a>0且a≠1) 表明该函数的变化规律是因变量y总与以a为底的自变量x的对数相对应.这是继一次函数、一元一次方程、指数函数等概念之后的又一个形式化的定义.对于初学者而言，困难之处在于对数函数的定义式并非是由他们所熟悉的四则运算或幂运算来表达的，因而往往对于“函数y=2log4x是否为对数函数”这类问题的回答莫衷一是.但是，教师在教学过程中，可以引导学生注意到“y=2log4x=log2x”及函数相等的定义，就能够作出“y是x的以2为底的对数函数”的正确判断.通过这一的问题讨论，揭示了对数函数定义的形式表达式的含义.这不仅有助于学生进一步深刻理解函数的概念，而且对于学生学习后继的几个形式化定义的三角函数的概念，以及进一步学习高等数学中的更深刻的形式化或公理化定义(如极限、向量空间等)也有帮助.

对数函数所涉及的对数运算，不仅对数据的处理带来了很大帮助，而且可以简化复杂的乘法与除法运算，体现了将问题转化的数学思想.例如，对于几何数列{an}(a>0且a≠1) 与其指数所对应的算术数列{n}，几何数列中任意两项的乘积所得的项的指数恰是这两项的指数之和，即这两项所对应的算术数列中的两项之和，也就是说，几何数列{an}中的乘法运算可以转化为算术数列{n}中的加法运算，即对数的加法.事实上，正是受上述想法的启发，苏格兰数学家纳皮尔与瑞士数学家比尔吉在十七世纪初各自独立地发明了对数.对数的发明，使得一个很大的数可以缩小为它的对数来处理，将两个数的乘法运算通过对数转化为加法运算，这样就方便了计算并减少错误[2].

对数函数在高中教科书中是作为指数函数的反函数来学习的，灵活运用一个函数与其反函数的图象关于直线y=x对称的性质，有助于培养学生思维的灵活性，领会数形结合的思想方法.例如，设方程2x+x-3=0的根为a，方程log2x+x-3=0的根为b，求a+b的值.为此，我们将两个方程分别变形为2x=-x+3与log2x=-x+3，就容易知道a是曲线y=2x与直线y=-x+3的交点A的横坐标，b是曲线y=log2x与直线y=-x+3的交点B的横坐标.根据同底的指数函数与对数函数的图像关于直线y=x是对称的，以及直线y=-x+3的图像也关于直线y=x是对称的，就得知A、B两点关于直线y=x一定对称，进而可求出A、B两点的坐标，使问题得到解决.

2.对数函数的应用价值

广泛的应用性是数学学科的一大特点.马克思曾说“一门科学只有成功地应用了数学时，才算真正达到了完善的地步”，我国著名的数学家华罗庚也曾指出“世间万物，大到宇宙小到每一粒尘埃，无处没有数学的贡献”.了解数学知识的应用价值，也可以引起学生学习数学的浓厚兴趣，激发他们学习的积极性.

在历史上，对数的发明帮助天文学家解决了复杂的计算问题，正是因为这一巨大优点，对数自发明以后就被迅速流传开来，并在当今现代科学的各个分支中仍然有着重要的应用.大家熟知的衡量化学物质酸碱度的PH值，就是基于对数性质设计的一种对数标度，譬如某两种物质的PH值相差3，那么它们实际的酸碱程度要相差103倍.类似地，还有测量地震强度的里氏震级、声音强度的分贝等.此外，在生物学科上，种群的增长曲线中时间与种群前后增长倍数也能够用对数函数来刻画.一般地，当人们需要评估某个量相对于另一些量的变化率时，常常用到对数函数来建立数学模型，如回归分析中的各种对数模型.应用对数可以保持数据的性质和相关关系，并使之变化幅度缩小而更加平稳.

在对数函数的教学中，教师应当引导学生善于从实际问题中抽象出其在数学上的本质特征，利用对数建立相应的数学模型以解决实际问题.这不仅能使学生深刻体会对数的应用价值，也对培养学生的抽象概括能力和建模能力都至关重要.高中教科书中介绍了考古学家判断文物年代的碳14法，即根据文物中碳14的含量来判断文物的年代，而文物中碳14的含量与文物的年代这两组量之间的关系就是一个对数表达式.类似地，在银行复利计算中，当本金为A、年利率为r时，那么本息和为B时所需要的年限则为n=(lnB-lnA)/ln(1+r)；又如，也可以要学生考虑这样的问题：某种细胞每一刻钟分裂一次，个数增加为原来的两倍，问20个细胞要繁殖为100万个以上，大约需要多少时间？通过对这样一些简单问题建立对数函数模型或利用对数来求解数学模型的练习，将实际问题中的数量关系及其变化规律简化为数学表达式来描述，有助于逐步培养学生运用数学思想方法和数学知识解决实际问题的能力.

3.对数函数的文化与审美价值

数学与人类文明的进步具有密切的联系，也是推动人类社会发展的动力之一.数学文化是指数学的思想、精神、方法、观点，以及它们的形成和发展[3].数学美是数学文化的一个重要方面，教师在教学中引导学生学会欣赏数学美，不仅有助于他们掌握数学的概念、定理、公式等基础知识，而且有助于培养和提高他们的数学素养.

对数的运算公式体现了数学符号的抽象美.如logaab=b可以刻画几何数列{an}与算术数列{n}之间的对应关系，而loga(AB)=logaA+logaB则可以刻画这两个数列运算之间的联系，即将{an}中任意两数的乘法运算归结为它们在{n}中的对数的加法运算.符号log则简洁地表达了这种联系，并透过公式严谨的形式结构，揭示了对数的本质意义.

自然界中各种各样的对称图案，总是引人入胜，让人情不自禁赞叹大自然的美.数学中的对称图形，也是数学美的重要体现.对数函数的图象也体现了某种对称美.当然，一个对数函数的图像，不像偶函数或者奇函数的图像那样本身具有对称的特点，但是，认识到一个对数函数与其它某个函数之间的图像具有对称关系，学生则能够在理解知识间联系的同时，体会到数学的对称美.例如，同底的对数函数与指数函数的图像关于直线y=x对称，底互为倒数的两个对数函数的图像关于x轴对称.而且，当底数变化时，虽然它们各自的图像也发生变化，但是图像间的对称关系并不改变，也就是说，函数图像之间的这种对称关系在底数的变化下保持不变.

总之，在实际的教学过程中，教师要善于挖掘教材中的文化元素，注意渗透数学文化，让学生在学习知识的过程中体会数学的文化价值，增强学生的数学文化底蕴.这对于学生数学价值观的逐步形成，以及不断发展学生的数学核心素养是有促进作用的.