例谈三角形中最值问题的解题策略

江苏省金湖中学 (211600) 张太清

解三角形的题目是高考中的热点之一，也是考查解决问题能力的一个着力点，而其中求三角形中的最值问题比较突出，与其它知识点联合出题是其主要特点．对于如何求最值，常见的方法是运用基本不等式，也可以利用二次函数和三角函数的有界性解决，本文通过举例分析来探讨几个典型问题的解题策略，务求为读者带来点滴帮助．

一、探求角的最值

一般都是对题设条件进行边角转换，变形化简，最后成为一个关于某一个角的三角函数值的范围，然后根据三角形中角的范围确定最值．

例1 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a，b，c成等差数列，求角B的最大值．

评注：题设中给出的关于三角形边的条件比较多，运用余弦定理解题是首选，注意此时选定的角要有针对性，大多是解决问题的对象，也可以是受条件的引导．

评注：首先通过用正弦定理实现了边和角之间转换，然后就是判断出最大角，而对于用比例系数表示出三角形的三边也是重要举措，必须考虑到如何消去参数的后续问题．

二、探求边的最值

此类问题是体现解三角形中边角转换典型的形式，在转化为边的问题时，多采用基本不等式解决，如果转化为三角函数，就用三角函数值的有界性求解．

评注：在已知一条边长后，再求三角形的周长，只需整体解决另外两边的和就行了，这点思考很重要，而用余弦定理是容易达到目的的．

评注：本题解决的关键是“BC边上的高AD=BC”的利用，根据两个不同的面积公式将边与角拉上了关系，使抽象的长度比转化为三角函数的最值问题，揭示了问题的真面目．

三、求三角形面积的最值

三角形的面积公式比较多，选用谁必须目标明确，其标准就是能否运用现有的条件达到解题目的，解题中还需注意公式的整体使用的技巧．

评注：本题中在解决面积的最大值问题时运用了基本不等式，这也是正弦定理和余弦定理的常见的应用之一，抓住条件、瞄准目标、整体变形是有效的解题方法．

评注：在解题中利用了“三角形中任何两边之和大于第三边”这一知识点确定出边长的范围，是解决最值问题的不可缺少的部分．

四、有关三角函数式的最值

解决此类问题中的一个关键步骤就是运用已知条件对函数式进行化简，这其中的正、余弦定理的运用，三角形内角和定理运用都起到重要作用．

例7 已知A，B，C为△ABC的三个内角，若cosA>0，且cos2A-3sinA+1=0，求sin(C-A)+

评注：通过运用三角变换把已知条件中的等式化简求解，得到了其中的一个角，这样为消元将结论式转化为关于一个角三角函数提供了有力支撑．还需注意三角形内角和定理的及时运用．

评注：首先运用余弦定理将角的函数式转化为边的关系是解题的重要举措，在解决最值问题时及时运用基本不等式也是解题的精彩之处．

前面我们讲解了解三角形中的四类常见的最值问题，当然还有其他情况，限于篇幅只能如此了，此类题目比较综合，有一定的难度，但只要我们老师能点其精、涉之广，在教会方法上下工夫，这些问题就能顺利解决．