让学生真正经历学习过程——一节概率课的评述

赵学志 (首都师范大学数学科学学院 100048)

李燕茹 (北京市怀柔区第一中学 101400)

1 背景

概率是高中数学教学中的一项内容，其中的运算并不复杂，推理也不多.然而，在概率学习的过程中，学生所接触的对象具有原始性、不确定性等特点，这使得他们很难用已有的解决数学问题的思维方法去求解“活”的概率问题．概率知识内容的这一特征，决定了教师在概率与统计教学中，要引导学生经历更加“原始”的概率模型的构建过程及应用过程．

我们在此评析高中概率内容初始阶段的一堂课，借此谈一下对概率教学的一些理解与体会.

2 教学片断实录与评析

2.1 创设情境，引出新课

在这一片段中，教师组织学生讨论熟悉的试验，为学习古典概型作准备．

教师呈现问题：说出以下试验的样本空间．(1)投掷一枚硬币，落地后哪一面向上；(2)投掷一枚均匀的骰子，观察上面的点数；(3)从四人小组中选两人为代表参加比赛．

生1：第一个试验，有正面和反面．

生2：第二个试验，点数有六种．

学生继续回答，从略．

师：按以上三个试验，回答下面的问题：(1)每个样本空间所含样本点的个数；(2)每一个样本点发生的可能有性多大？(3)三个试验的共同点是什么？

生3：第一个试验有2个，第二个试验有6个，(样本个数)有限．

师：第一个试验正面发生的可能性是多少？

生3：二分之一．

师：第二个试验呢？

生3：六分之一．

师：(追问)第一个试验为什么不是百分之六十？

生3：各面都一样．

教师总结古典概型的特征，给出定义，下略．

从设计上看，教师让学生通过观察，初步体会古典概型的特征，进而共同总结出古典概型的定义，这是很自然的设计思路．在出示的例子中，样本空间的第一个特征是有限性．这个特征比较简单，学生容易看出，其回答也说明了这一点．然而，第二个特征如何得来是个问题．学生对掷硬币试验已经“很熟悉”了，也许小学阶段就接触到了，因此关于正反出现的可能性相同已经形成了定式．掷骰子也是类似，但是当教师进行追问时，学生就很难给出解释了．

最后学生没有清楚地回答出掷骰子各面出现的可能性相等的原因．问题的出现决不是教学上的失误，这恰好说明教师对数学问题所具备的探究意识．教师通过提问发现了学生知识结构上的缺陷：仅是识记，没有理解．那么这如何解决呢？

中学数学中的概率与统计内容连在一起，它们与其他的数学内容有着很大的区别．文[1]的作者提出，不适合将随机变量与函数作类比，这是个关键点．然而在学习过程中，学生极易用原有的方式去理解概率中的问题．其实在统计的意义下，正反面可能性相同，不是百分之百对，但的确会让答案对的可能性最大．这是概率的思维，是不能用确定性数学内容来解释的．

2.2 概念辩析

在这一片段中，教师通过一些例子，让学生进一步理解古典概型．

师：请举出古典概型的随机试验．

学生讨论，教师评述．

生1：从三个小球中，拿一个，球的大小相同．

生2：抽签．

生3：扔粉笔，看扔出的距离．

师：距离都是多远？

生3：……

(继续讨论)

教师呈现问题：你认为下列随机试验是古典概型吗？(1)种了一颗种子，观察其在实验室里是否发芽；(2)向一个圆面内随机投一点，观察该点落在圆内的位置；(3)射击运动员向一靶心射击，命中10，9，…，0环．

生4：第一个不是，因为不等可能．

生5：第二个也不是，因为有“任意多”个点在圆内．

生6：第三个不是，环数不是等可能．

与特征的总结类似，问题又出在等可能上．“是不是等可能”，这是许多教师在类似的课堂上问的问题．它真的需要问吗？

从现在人们普遍提及的核心素养的角度如何来看呢？数学抽象是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的思维过程．其主要包括：从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并且用数学符号或者数学术语予以表征．教师在这里提出了几个很好的问题，让学生用样本空间来表征现实问题．学生给出了答案，教师默认式地给予肯定，其他学生也没有提出疑问．然而，“得到数学研究对象”这个过程在哪呢？

我们首先要解决的是，什么是这里的数学研究对象？大多数人都会说样本空间．这样，上述三个问题的样本空间分别为：{发芽，不发芽}，圆中的点，{0,1,…,10}．然后，再看两个特性．抽象出样本空间，观察或确定样本空间的特性，将这两步分开，才是过程的体现．当然，即使是回答“正确”的学生，也很难将其思维过程展开．于是，教师的引导作用就要体现了．我们在这里用了带引号的“正确”，是想说明其相对性．如试验(2)，答题的学生将样本空间抽象成一个圆，是一种自然的看法，但也不能说是唯一．我们可以把圆分成若干小块，也可以用坐标加以区分，并要求坐标写成一定的精度，这就使得样本点数有限，不是吗？

北师大版教材中，此类习题的写法是“你认为……”，这种提问方法不无道理，因为使学生经历数学抽象这个过程更重要．会抽象出样本空间是关键，而是不是等可能这个答案不重要，重要的是学生有没有合理的解释．如同试验(2)，其答案，“是”与“不是”都可以．而另两个例子，答案似乎是确实的“不是”．两者的区别在于后者(试验(1)和试验(3))已经将样本空间确定了，其等可能性与实际情境相关．

这样看来“是不是等可能”所问的并不是真正的数学问题，不这样问反而更好，因为它没有唯一“正确”的答案．

2.3 探究加法公式

这一片段中，教师引导学生总结概率的加法公式．

教师出示问题：(1)在抛硬币的试验中，求出现正面向上的概率；(2)在掷骰子的试验中，求向上点数是3的倍数的概率；(3)在参加比赛的试验中，求组长(特定一人)参加比赛的概率．

生1：题1中的概率是1/2．

生2：题2中的概率是1/3．

师：向上点数是3的倍数，这个事件中有几个基本事件？

生3：两个，点数3和6．

师：会不会同时发生？

生3：不能．

师：你能总结一下古典概型的概率计算公式吗？

生4：事件A的概率等于A所含的样本点数除以样本点的总数．

教师的设计意图在于用实例让学生总结概率公式．从更一般的观点看，这依然是一种计算能力．计算能力的前端是识别模式，用曹才翰先生对数学计算能力的概括，就是对数学材料的形式化知觉能力[2]．

高中学生自然熟悉简单的加法运算规则与技巧，但加法如何适用于互斥事件的概率和，于他们而言却是一个新的情况．在这个问题上，教师要花一定的时间．学生的难点在于将概率抽象成数学材料，并将该材料与加法运算相联系．其实，用集合图式来表示是有一定帮助的．因为一旦完整地建立起数学材料的知觉，每个样本点有一个数(概率)，如同点的“重量”，那么多个样本点对应的数是多少便自然得出了．这就是为什么学生很容易总结出概率公式，然而能否明确条件，又是另外一个问题了．

从数学本身来看，概率是测度的一种，其中的可加性是一种定义，我们不能期望此公式真正地从某处推出．在教学中，教师的着重点应是让学生体会“和”事件的概率等于“分”事件概率的和．

在高中数学课程中，概率的初始部分充斥着各种名词：试验、事件、空间、样本(基本事件)、互斥．这次新教材又将其中的概念重新调整了一下．但是，究竟用什么名词不重要，关键是如何让学生将这些“新”名词与他们已有的数学知识和生活中的常识相联系．

3 结语

教师在讲授课程内容时，拥有对数学的深刻理解是不可或缺的，将数学内容变成学生可以理解的教育形态，亦是教师必须掌握的技能．让学生“获得问题情境的情境体验和感悟”，这是在教学研究与讨论中经常提及的，如何才能做到这一点，是一个长久的话题．虽然在一堂课上，学生的参与程度常常是课堂评价的一个指标，然而，学生的参与质量应该是更值得关注的．

在概率的起始课上，教师总能找出一些新颖有趣的例子，如概率论的起源、有关概率的故事等．然而，这除了引起学习兴趣外，能传递怎样有价值的数学信息则很难确定．这节课上，任课教师抛出了一些问题让学生讨论，这些问题也许不是很生动，但却有明确的数学内涵．重要的是，教师能适时地在学生回答基础上提出新问题，让学生做进一步的思考，而当学生的表述不大合理时，教师也没有过多地“纠正”．实际上，学生的认识需要一个过程，教者应当给予他们更多的时间，让他们理解概率中的内容，比如：样本空间到底是什么？这也是这节课的亮点所在．