2020年高考圆锥曲线问题解法探索与备考建议

陕西省汉中市龙岗学校(723100) 唐宜钟

圆锥曲线是每年高考的必考大题,一般放在压轴题位置,具有较强的区分度.《普通高中数学课程标准(2017 版)》中提到对圆锥曲线“重点提升直观想象、数学运算、数学建模、逻辑推理和数学抽象素养”.要求学生“能够掌握平面解析几何解决问题的基本过程:根据具体问题情境的特点,建立平面直角坐标系;根据几何问题和图形的特点,用代数语言把几何问题转化为代数问题;根据对几何问题(图形)的分析,探索解决问题的思路;运用代数方法得到结论;给出代数结论合理的几何解释,解决几何问题.”遵循新课标思想,笔者对2020年高考理科数学圆锥曲线大题解法进行了探索.

一、试题统计

2020年高考理科数学共10 份,对圆锥曲线大题简单统计如下:

试卷题号核心问题着力点全国I 卷20定点问题点的坐标计算、方程化简全国II 卷19弦长计算联理曲曲方程、方程化简全国III 卷20点的坐标联理直曲方程、计算江苏卷18点的坐标几何表达转化、联理直曲方程北京卷20定值问题联理直曲方程、数值化简天津卷18计算斜率联理直曲方程、坐标计算海南卷21椭圆上一点到直线距离最大值几何表达转化、联理直曲方程山东卷22定点问题联理直曲方程、数值化简、几何转化浙江卷21减少参变量联理直曲方程、曲曲方程、减少参变量上海卷20临界值寻找条件转化、坐标寻找

上述圆锥曲线大题可以进一步归为三大类:①计算类问题.方程问题2 个:全国II 卷和天津卷;求解坐标问题2 个:全国III 卷和江苏卷.②定点定值问题.定点问题2 个:全国I卷和山东卷;定值问题1 个:北京卷.③最值问题3 个:海南卷、浙江卷和上海卷.

圆锥曲线问题通常的解决程序包括以下四个方面:①方程联理:包括直线与直线联理、直线与曲线联理、曲线与曲线联理.这类联理最终达成的结果是减少未知量或直接得出坐标等;②条件转化:常见的是直接将坐标、斜率、弦长、向量、面积等量的表征转化为可计算的符号化语言或将抽象叙述、几何语言等转为直观理解的可计算的代数语言;③减少参量:利用题目中的条件,将参量个数变少或者建立起多个参量间的等式.或者利用不等式、临界值、相关范围等将某个参量定量消除.④计算化简:包括根据条件最终计算出点的坐标、斜率、直线曲线方程等,并化简为满足要求的或者约定成俗的形式,或者利用已知范围计算出某个所求值的最值或范围.

二、计算类问题的三种视角的方法

计算类问题通常与直线方程、弦长、点的坐标等有关.笔者提供三种视角的方法:斜率视角方法、点的视角方法、长度角度视角方法.其中斜率视角方法包括使用直线的x 轴斜截式方程.

1.斜率视角方法斜率视角方法是最常见的解题方法,即把斜率作为一个未知量(大多数时候是唯一的未知量),设出相关直线的方程,再转化已知条件,最终得出结果.

2.点视角方法设点的坐标,以点的坐标为未知量,转化条件,最终得到结果.大多数情况下,点的坐标表达形式下转化不够简洁,为了计算的方便,会采用一些技巧进行化简,如三角代换、点差法、焦半径等.

本解中,先设出点P 的坐标,进而表达出点P 的轨迹方程.但在后续转化中,需要通过椭圆上的点B 来“固定”点P,我们使用了三角代换,使运算简化.

3.长度角度视角方法设出长度和角度,利用长度表示相关线段的长,利用角度表达斜率,利用长度和角度表达点的坐标.本方法的内核,是极坐标和参方.这类方法,有时能够简化运算,并更容易看清问题的本质.是一类值得开发的方法.

三、定点定值类问题的处理方法

定点定值类问题,笔者提供四种处理方法:①常规方法,直接根据题设条件,逐步转化.这需要较强的运算功底.②极点极线,一些问题的本质是极点极线,如果能快速识别,合理“套用”,往往能够拨开迷雾,指明方向.但高考中不建议直接使用.③二次曲线系,这类解法通过对比相同项的系数,能够一定程度规避运算中的“无效”部分,达到计算的快、准.④齐次化二次曲线,这类解法通过平移坐标,齐次化方程,把所求问题的几何意义简化,使得计算简洁、意义明确.

1.常规方法

2.极点极线

3.二次曲线系

4.齐次化二次曲线

四、最值类问题的处理方法

最值类问题的最终目标是将表达式化为单变量的函数(不等式)问题处理.需要两种处理技巧:一是将几何意义转化为可用代数化表达的式子,如2020年海南卷第(2)问就是将面积的最大值转化为椭圆上一点到定直线距离的最大值.二是将多变量函数通过题设条件和不等式技巧转化为单变量函数.

例8(2020年高考浙江卷第21 题)如图,已知椭圆C1:抛物线C2:y2=2px(p＞0),点A 是椭圆C1与抛物线C2的交点,过点A 的直线l 交椭圆C1于点B,交抛物线C2于M(B,M 不同于A).

五、备考建议

基于圆锥曲线的特点,笔者提出以下几点建议:(1)加强解题模式的培养.圆锥曲线的解题过程有相对固定的模式,多多练习,熟能生巧.(2)加强运算能力的培养.圆锥曲线的大部分过程是运算.运算能力,至关重要.(3)加强几何转化能力的培养,几何转化是圆锥曲线的破题之道.(4)加强代数技巧、不等式方法的培养.灵活使用代数技巧,能使题目的计算简洁快速.(5)适当补充常见结论和特殊技巧.这些技巧和结论能使学生看见题目的“底牌”,解题有的放矢.(6)培养学生时间管理意识.要规划好时间,不急不缓,注重细节,避免非知识性失误,追求完美.(7)培养学生的心理素质.练就平和的心态,树立克难攻坚的信心,用“稳”字贯穿解题始终.