极线视角下对2020年全国I卷解析几何题的探究*

湖北恩施州教育科学研究院(445000) 周威

一、试题呈现与问题提出

例1(2020年全国I 卷理科21 题、文20 题)已知A,B分别为椭圆E:1(a＞1)的左、右顶点,G 为E 的上顶点,为直线x=6 上的动点,PA 与E 的另一交点为C,PB 与E 的另一交点为D.

图1

(1)求E 的方程;

(2)证明:直线CD 过定点.

评注此题以椭圆与直线最基本的问题情境作为进行任务创设和基本知识能力运用考查的载体,重点考查学生数形结合、化归转化思想,强调直线代入圆锥曲线方程通性通法的应用.对于直线过定点问题,要么先设点P 坐标,然后把直线AP,BP 的方程分别与椭圆方程联立,求出C,D 两点的坐标,对于处理定点问题,可对CD 直线方程化简,得出过定点;也可以先确定点,再通过三点共线求定点;要么设CD 的直线方程x=my+n 及C,D 的坐标,联立椭圆方程,通过设而不求,找到m,n 的关系,进而得到直线过定点(请读者解答).因此,上述解法具有代表性和通法性,体现了高考“四翼”中的基础性.

那么基于此问题情境,其背后的命题立意、高等数学背景和相关拓展是怎样的? 为此,有以下问题导向:

问题1第(2)问命题立意时,如何从高观点视角确定CD 与x 轴的交点就是固定的?

问题2当椭圆E 和直线x=6 都为一般情形时,直线CD 过定点坐标是怎样的?

问题3如果将椭圆E 改为双曲线的情形,是否有类似结论?

图2

二、基于极点极线的问题探究与结论

如果站在极点极线高观点下,对上述问题的思考就能让人豁然开朗.极点极线是高等几何中关于二次曲线的有关概念,与高中阶段圆锥曲线的相关知识联系密切.其具体定义为:如图2,设点P 是不在圆锥曲线上的一点,过P 点引两条割线依次交圆锥曲线于四点E,F,G,H,连接EH,FG交于C,连接EG,FH 交于D,则直线CD 为点P 对应的极线.若P 为圆锥曲线上的点,则过P 点的切线即为极线.同理可知,PC 为点D 对应的极线,PD 为点C 所对应的极线.

定理1当P 在圆锥曲线Γ 上时,则点P 的极线是曲线Γ 在P 点处的切线;当P 在Γ 外时,过点P 作Γ 的两条切线,设其切点分别为A,B,则点P 的极线是直线AB(即切点弦所在的直线);当P 在Γ 内时,过点P 任作一割线交Γ 于A,B,设Γ 在A,B 处的切线交于点Q,则点P 的极线即为点Q 的轨迹.

若设J(x0,y0),HP 是点J 的极线,可得HP 的直线方程为因为点在直线HP 上,故可得x0=m.综上所述,可得到例1 的一般结论:

图3

结论1已知A,B 分别为椭圆E:b＞0)的左右顶点,P 为直线x=m(m /=0)上的动点,PA与E 的另一交点为C,PB 与E 的另一交点为D.那么直线CD 过定点且直线AD 与BC 的交点在直线x=m 上.

证明可知A(-a,0),B(a,0),P(m,n),

三、结论再推广

四、反思与结语

上述讨论都是借助极点极线高等数学知识,对试题情境中椭圆、双曲线情形的探究.其实,抛物线的情形也有类似问题情境和结论,比如:已知抛物线y2=2px(p＞0),P为直线x=m 上的动点,过P 作抛物线的两条切线,切点分别为C、D,则直线CD 过定点H(-m,0).关于抛物线中“k1+k2=2k0”的结论情形,笔者在文[2]中也有所阐述,这涉及到此道高考题的源与流,不再赘述.数学家F.克莱因认为,教师应具备较高的数学观点,基础数学的教师应该站在更高的视角来审视、理解初等数学问题,只有观点高了,事物才能显得明了简单.