一道高考试题的背景简介

■王洪民

2019年高考数学全国Ⅲ卷第21题第(1)小题如下：

已知曲线C：y=，D为直线y=上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B。证明：直线AB过定点。

这道怪怪的试题的背景涉及圆锥曲线的极点极线问题，同学们只有了解命题背景，才能对试题的认识更加透彻，下面对极点极线作简单介绍。

一、极点极线的代数定义

对于圆锥曲线C：Ax2+Bxy+Cy2+D x+Ey+F=0，已知点P(x0，y0)(非曲线C的中心)及直线l：，我们称点P为直线l关于曲线C的极点，直线l为点P关于曲线C的极线。

由此定义可知，圆锥曲线的焦点和相应的准线就是一对极点极线。如曲线C：y=，焦点和准线就是关于曲线C的一对极点极线。

二、极点极线的几何性质

设点P和直线l是圆锥曲线C的一对极点和极线：

(1)若极点P在曲线C上，则曲线C在点P处的切线就是极线l;

(2)若过极点P可作曲线C的两条切线，A，B为切点，则直线AB就是极线l;

(3)若过极点P的任意直线交曲线C于A，B两点，则曲线C在A，B两点处的切线的交点Q一定在极线l上;

(4)若过极线l上任意一点Q可作曲线C的两条切线，切点为A，B，则直线AB过极点P。

证明：设点P(x0，y0)，直线l：Ax0x+F=0。

(1)因为P在C上，所以。对C：Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0，利用隐函数求导得，故在点P处的切线方程为x0)，整理得，所以曲线C在点P处的切线就是极线。

(2)设点A(x1，y1)，由性质(1)可知直线。因为直线P A过点P(x0，y0)，所以。设点B(x2，y2)，同理可得。故直线AB的方程为，这就是极线l。

(3)设点Q(m，n)。由性质(2)可知直线AB的方程为。因为直线AB过点P(x0，y0)，所以，可见点Q在极线l上。

(4)设点Q(m，n)。由性质(2)知直线AB的方程为。因为Q是极线l上任一点，所以，可见直线AB过极点P(x0，y0)。

对于2019年高考数学全国Ⅲ卷第21题第(1)小题，因为焦点与准线y=是曲线C的一对极点极线，点D在准线上，由性质(4)易知直线AB过定点。

极点极线的定义主要适用于圆锥曲线，但并不是只适用于圆锥曲线，对别的曲线(例如圆)也同样适用。由极点极线的定义及几何性质易证点P(x0，y0)关于圆C：(x-a)2+(y-b)2=r2的极线l方程是(x0-a)·(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2。

例如，(2013年高考山东卷数学理第9题)过点(3，1)作圆(x-1)2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为( )。

A.2x+y-3=0

B.2x-y-3=0

C.4x-y-3=0

D.4x+y-3=0

显然直线AB的方程就是点(3，1)关于圆的极线方程(3-1)(x-1)+y=1，即2x+y-3=0。故选A。

极点极线有着丰富的性质和独到的应用，教材中直线与圆锥曲线的问题几乎都可以用极点极线解决。极点极线在高考试题中也屡见不鲜，是高考解析几何试题的题源之一。