关联圆锥曲线焦点、准线的一个性质的推广

陈建海

1 问题的提出

《福建中学数学》2018年第6期文[l]对一道课本例题进行逆向探究，得到了关联圆锥曲线焦点、准线的的一个性质，即下面的性质1-4（即文[l]的“一般性的结论”）.读后颇受启发，但觉意犹未尽，本文拟对上述性质进行推广.先把文[l]的性质1-3及“一

般性的结论”抄录如下：

性质1过抛物线焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点D在抛物线的准线上，若直线BD平行于抛物线的对称轴，则直线AD经过抛物线的顶点O（如图1）.

性质2过椭圆焦点F的直线交椭圆于A，B两点，点D在焦点F对应的准线上，若直线BD平行于椭圆的对称轴，则直线AD经过定点（该定点是准线与对称轴的交点和焦点F的连线段的中点）（如图2）.

性质3过双曲线焦点F的直线交双曲线于A，B两点，点D在焦点F对应的准线上，若直线BD平行于双曲线的对称轴，则直线AD经过定点（该定点是准线与对称轴的交点和焦点F的连线段的中点）.

性质4（即文[1]的“一般性的结论”）过圆锥曲线焦点F的直线交圆锥曲线于A，B两点，点D在焦点F对应的准线上，若直线BD平行于圆锥曲线的对称轴，则直线AD经过定点（该定点是准线与对称轴的交点和焦点F的连线段的中点）.

以上性质揭示了关联圆锥曲线焦点、准线的一个性质，那么，这个性质对圆锥曲线的“类焦点”、“类准线”能否成立？即能否把上述性质推广到“类焦点”、“类准线”的情形？

2 性质的推广

经探究发现，以上性质不仅对圆锥曲线的焦点、准线适用，而且对圆锥曲线的“类焦点”、“类准线“也适用.可以把上述性质推广到“类焦点”、“类准线”的情形.

性质1-1过抛物线“类焦点”F的直线交抛物线于A，B两点，点D在抛物线的“类准线”上，若直线BD平行于抛物线的对称轴，则直线AD经过抛物线的顶点O.

证明 如图l，以抛物线的顶点O为原点，抛物线的对称轴为x轴，建立直角坐标系.设抛物线的方程为y2=2px（p>o），“类焦点”F（m，o）（m>o），“类准线”x=一m与x轴的交点坐标为（一m，o）.下面分两种情况证明.

当直线AB的斜率存在时，

设直线AB的方程为y=k（x一m）（k≠o）.

得k2（X-m）2=2px，

整理得k2X2—2（k2m+p）x+k2m2=0.

设A（x1，Y1），B（X2，y2）（Xl≠X2），

据韦达定理得：

则直线AD经过定点（o，o），

即抛物线的顶点O. 当直线AB的斜率不存在时，

则直线AD经过定点（o，o），

即抛物线的顶点O.

性质2-1过椭圆“类焦点”F的直线交椭圆于A，B两点，点D在“类焦点”F對应的“类准线”上，若直线BD平行于椭圆的对称轴，则直线AD经过定点（该定点是“类准线”与对称轴的交点和“类焦点”F的连线段的中点）.

证明如图2，以椭圆的中心O为原点，椭圆实

轴所在的直线为x轴，建立直角坐标系.

下面分两种情况证明.

当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y= k（x-m）（k≠0）.（注：若K=o，则结论显然成立）.得b2X2+ a2k2 （X- m）2 _a2b2=o，∴（a2k2+b2）X2—2a2k2mx+a2k2m2一a2b2=0.设A（x，Yi），B（X2，y2 ）（Xl≠X2），据韦达定理得X1十X2：2a2k2m

该定点是“类准线”与对称轴的交点和“类焦点”F的连线段的中点.

当直线AB的斜率不存在时，

该定点是“类准线”与对称轴的交点和“类焦点”F的连线段的中点.

类似地，可以把性质3推广为：

性质3-1过双曲线“类焦点”F的直线交双曲线于A，B两点，点D在“类焦点”F对应的“类准线”上，若直线BD平行于双曲线的对称轴，则直线AD经过定点（该定点是“类准线”与对称轴的交点和“类焦点”F的连线段的中点）. 一c时，性质2-1、3-1分别为性质2、3.

由性质I-I、2-1、3-1，可把性质4推广为：

性质4-1过圆锥曲线“类焦点”F的直线交圆锥曲线于A，B两点，点D在“类焦点”F对应的“类准线”上，若直线BD平行于圆锥曲线的对称轴，则直线AD经过定点（该定点是“类准线”与对称轴的交点和“类焦点”F的连线段的中点）.

3 推广性质的逆命题

上述推广性质的逆命题成立吗？只要对性质4-1进行讨论即可.设过圆锥曲线“类焦点”F的直线交圆锥曲线于A，B两点，点D在“类焦点”F对应的“类准线”上，若直线AD经过“类准线”与对称轴的交点和“类焦点”F的连线段的中点M，那么直线BD是否平行于圆锥曲线的对称轴？

设点D1在类焦点“F对应的“类准线”上，且直线BD，平行于圆锥曲线的对称轴，据性质4-1，得直线AD经过定点（该定点是“类准线”与对称轴的交点和“类焦点”F的连线段的中点M）.这表明直线AM经过点D1.又直线AD经过“类准线”与对称轴的交点和“类焦点”F连线段的中点M，知直线AM经过点D，则点D，D1同为直线AM与“类准线”的交点，故点D，D1重合，从而直线B平行于圆锥曲线的对称轴，

可见，性质4-1的逆命题成立，其逆命题是：

性质4-2过圆锥曲线“类焦点”F的直线交圆锥曲线于A，B两点，点D在“类焦点”F对应的“类准线”上，若直线AD经过定点（该定点是“类准线”与对称轴的交点和“类焦点”F的连线段的的中点），则直线BD平行于圆锥曲线的对称轴，

据此，可得性质I-I、2-1、3-1的逆命题：

性质1-2过抛物线“类焦点”F的直线交抛物线于A，B两点，点D在抛物线的“类准线”上，若直线AD经过抛物线的顶点O，则直线BD平行于抛物线的对称轴.

性质2-2过椭圆“类焦点”F的直线交椭圆于A，B两点，点D在“类焦点”F对应的“类准线”上，若直线AD经过定点（该定点是“类准线”与对称轴的交点和“类焦点”F的连线段的中点）.则直线BD平行于椭圆的对称轴.

性质3-2过双曲线“类焦点”F的直线交双曲线于A，B两点，点D在“类焦点”F对应的“类准线”上，若直线AD经过定点（该定点是“类准线”与对称轴的交点和“类焦点”F的连线段的中点），则直线BD平行于双曲线的对称轴.

特别地，当“类焦点”F为焦点时，性质1-2、2-2、3-2、4-2分别为性质1、2、3、4的逆命题.

4 所得结论的完善

分别综合性质l-I、1-2，2-1、2-2，3-1、3-2，4一、4-2，可得：

性质1-3过抛物线“类焦点”F的直线交抛物线于A，B两点，点D在抛物线的“类准线”上，则直线AD经过抛物线的顶点O的充要条件是直线BD平行于抛物线的对称轴.

性质2-3过椭圆“类焦点”F的直线交椭圆于A，B两点，点D在“类焦点”F对应的“类准线”上，则直线AD经过定点（该定点是“类准线”与对称轴的交点和“类焦点”F的连线段的中点）的充要条件是直线BD平行于椭圆的对称轴.

性质3-3过双曲线“类焦点”F的直线交双曲线于A，B两点，点D在“类焦点”F对应的“类准线”上，则直线AD经过定点（该定点是“类准线”与对称轴的交点和“类焦点”F的连线段的中点）的充要条件是直线BD平行于双曲线的对称轴.

性质4-3过圆锥曲线“类焦点”F的直线交圆锥曲线于AB两点，点D在“类焦点”F对应的“类准线”上，则直线AD经过定点（该定点是“类准线”与对称轴的交点和“类焦点”F的连线段的中点）的充要条件是直线BD平行于圆锥曲线的对称轴.

参考文献

[1]孙承雄，对一道课本例题的逆向探究[J].福建中学数学，2018 （6）：7—8