圆锥曲线中一类定直线问题的再推广*

广东省中山市中山纪念中学(528454) 鞠火旺

广东省中山市濠头中学(528437) 闫伟

本刊于2019年11月上半月刊发了福建漳州教科院张兵源老师的《一道解析几何联考题的解析及推广》,该文对2019年湖北八校高三第一次联考解析几何题进行了推广,共得到了3 个结论,分别是关于椭圆、双曲线和抛物线的,其中关于椭圆的结论如下:

图1

上述结论反映了圆锥曲线中焦点与准线的对应关系,结果非常优美,且在高考及模拟考试题中经常出现.但仔细观察推广后的结论,不难发现结论仍然局限于椭圆的焦点和准线,那么对于椭圆长轴上不与左、右顶点重合的任意一点F(δ,0)以及定点H(m,0),按照结论I 的方式作图,得到的交点T 又具有怎样的性质呢?如图1所示,我们借助Ti-Nspire 图形计算器,发现并辅助完成了如下结论Ⅱ的证明.

⑥式即为交点T 的普通方程,其图像如图2,图3所示.

图2

图3

图4

图6

图7

至此,该问题在椭圆中得到了完美的拓展,经过研究发现,在双曲线和抛物线中也有类似的结论,本文不再赘述.