整体性教学设计

李宏

[摘 要]教学设计作为一个系统，它的主要特征在于整体性.合理的整体性教学设计有助于调动学生的学习积极性，有助于学生对学习内容进行整体把握，认清知识本质.

[关键词]整体性;教学设计;幂的运算

[中图分类号]    G633.6        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2021）26-0009-03

整体性教学设计是对课堂教学系统化规划而进行的教学设计.教学设计作为一个系统，它的主要特征在于整体性，不能因为每一部分的重要性而丢弃整体系统的观念.我们应该通过教学设计创设一个合理的教学系统来促进学生的学习，并以此提高学生的逻辑思维能力.下面以“幂的运算”为例谈谈如何进行整体性教学设计.

一、教材解读

“幂的运算”是鲁教版初中数学教材六年级下册第六章《整式的乘除》的内容，包含同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、同底数幂的除法、零指数幂、负整指数幂等内容.这部分内容既是整式乘除的基础，又是一种独立的运算，其知识基础是“幂的意义”“有理数的乘方”“有理数的乘法运算”等.教材从数到式、从特殊到一般、从具体到抽象的数学活动贯穿始终，为后续进一步深入学习整式运算提供了知识、技能和思想方法的基础，积累初步探究公式、法则的数学活动经验.

二、问题分析

对于本章的教学，过去的做法是按照教材上的顺序将同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、同底数幂的除法分为4个课时开展教学，然后通过大量的习题训练来巩固.这是否有利于学生对数学整体把握？是否有利于学生对数学本质的理解？基于对学情的把握以及对数学知识内在逻辑连贯性的考虑，可以把“幂的运算”进行整合，开展一个单元的教学.

三、学情分析

学生为城区学校普通班学生，初一入学进行了数学思维的训练.笔者平时仔细研究了人大附中和北京八中少年班的教学模式、教学案例，同时也认真思考，针对普通城市、普通学生的情况，如何提高其数学成绩以及数学能力.在数学教学中注意对章节的整体架构，让数学知识如何更高效地传递给学生，使学生乐意学数学，调动学生学习的积极性.在给上一届学生授课的过程中，就运用了这种方法，教学效果良好.教师不要以为初一学生就接受不了这样的数学思维训练，事实证明他们是可以的.

四、教学目标

（1）通过演算、归纳并证明幂的运算性质（同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、同底数幂的除法），让学生在此过程中感受从特殊到一般、从一般到特殊的数学思想方法.

（2）通过乘除互逆，体会同底数幂除法与乘法的关联，以及零指数幂、负整指数幂作为特例来理解.

（3）运用幂的运算性质进行简单的运算，掌握运算背后的算理.

（4）着重激发、训练学生的数学抽象能力、逻辑推理能力和数学运算能力.

五、教学重难点

（1）重点：幂的运算性质的探究、证明与简单应用.

（2）难点：幂的六种运算性质的证明及应用.

六、教学过程

（一）创设问题情境导入

师：我们现在研究的数学主要有哪些内容？（代数和几何）

师2：前一章图形研究告一段落，今天我们再次进入代数领域的学习.代数的学习离不开最基本的内容，那就是——（运算）

师：54是什么运算？它的意义及各部分的名称是什么？5n（n为正整数）呢？an（n为正整数）呢？乘方的意义是什么？（复习）

设计意图：建构“幂的运算”，来自内部，简单纯粹.从数学两大领域引出运算与幂，体现了教师的整体教学观.从举例到猜想、从数字到字母，从学生的已有经验出发，通过回顾乘方运算，引出同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、同底数幂的除法等课题.

（二）性质探究

猜想1：[anam=an+m]（m、n都是正整数）.能否运用乘方意义验证？

举例：略.

猜想：[am·an=am+n]（教师引导补充：m、n为正整数）.

驗证：

[am·an= ][（a·a·…·a）m个·（a·a·…·a）n个]（乘方的意义）

[=a·a·…·a（m+n）个]                           （乘法的运算律）

[=am+n]                                                            （乘方的意义）

性质：同底数幂相乘，底数不变，指数相加.

巩固练习：

计算：（1）[c·c11];（2）[（-b）3×（-b）2];（3）[-b2·b3].

问题：在探究同底数幂的乘法法则的过程中，我们经历了怎样的过程？其中蕴含了怎样的数学思想方法？（举例—猜想—验证，从特殊到一般）

猜想2：[（am）n=amn].

问题：你能用类似的方法来探究另外几个幂的运算的规律吗？

（学生先独立研究，再小组交流，最后小组代表进行展示.）

猜想：[（am）n=amn]·（m、n为正整数）.

验证：

[（am）n=am·am·am·…·amn个]  （乘方的意义）

[=am+m+m+…+mn个]        （同底数幂的乘法法则）

[=amn]                       （乘法的定义）

性质：幂的乘方，底数不变，指数相乘.

[（a）mn=]？（m，n为正整数） 只有这一种可能吗？

[（a）mn=（an）m]也可以[（a）mn=（am）n].

巩固练习：

计算：（1）[-（a2）5];（2）[5·（y2）2n;（3）（x3）4·x2].

猜想3：[（ab）n=anbn] （n为正整数）.

验证：

[（ab）n=（ab）·（ab）·（ab）·（ab）·（ab）n个]  （乘方的意义）

[=（a·a·a·a）n个·（b·b·b·b）n个]       （乘法的运算律）

[=anbn]                                                                    （乘方的意义）

性质：积的乘方等于每个因式的乘方的积.

推广：[am·an·ak]（m、n、k都是正整数）等于多少？

鞏固练习：

计算：（1）[x3·x5+（x2）4+（-2x4）2];（2）[（-3n）3];（3） [（y2z3）3].

注意：

（1）底数必须是乘积的形式，要看清有几个因式.

（2）底数含“-”时，应将其视为“-1”，作为一个因式，防止漏乘.

设计意图：通过适当练习，深化理解.建构完整的内容框架后，再逐一探究、展示.作为单元教学中的第一课时，将数学知识进行统筹，系统思维，这正是基于整体教学的需要.以乘方的意义贯穿始终，埋下整章知识的逻辑主线.力求改变规则教学中只注重掌握结果再熟练运算的做法，更多关注了规则的发生、发展以及思想方法的渗透，关注数学语言的转化，步步有据.从特殊到一般、从一般到特殊、分类、类比转化等多种思想方法的渗透旨在提升学生的数学核心素养.

（三）练习反馈

1.计算，结果用幂的形式表示.

（1）[（2x+1）2·（2x+1）5];

（2）[（a-b）5·（a-b）2];（3）[a4·a6+a5·a5].

2.计算.

（1）[（m-n）·（m-n）2·（m-n）5];

（2）[an·an+1+a2n·a]（n是正整数）.

设计意图：简单应用，回归性质，明白算理.一要能准确分辨运算的类型（是什么），二要能说出具体运算的过程（怎么算），三要明白其中的道理（为什么）.

（四）层层递进

师：研究了乘法，你觉得后面我们还会研究什么内容？对于同底数幂的除法是不是也有规律和法则呢？如何研究？

同底数幂的除法法则的推导.

当[a≠0]，m、n是正整数，且[m>n]时，

[am÷an=aman=a·a·…·a（          ）个aa·a·…·a（          ）个a=a·a·…·a（          ）个a·a·a·…·an个aa·a·…·an个a=a           ].

归纳法则：

同底数幂的除法：

.

特例：

1.零指数幂

（1）符号语言：[a0 = 1 （a≠0）];

（2）文字语言：任何不等于0 的数的0次幂等于1.

2.负整数指数幂

（1）符号语言：[a-n  = 1an]（[a≠0]，n是正整数）;

（2）文字语言：任何不等于0的数的[-n]（n是正整数）次幂，等于这个数的n次幂的倒数.

师：运用今天学过的知识，你会证明吗？

（五）拓展

1.（1）[23÷24]等于几？

（2）能利用同底数幂除法的运算性质进行计算吗？

（3）[am÷an=am-n]中对于m、n的要求是[m>n]，我们有必要对此做出修改吗？怎么改？同底数幂的除法和乘法什么关系？

2.下面的计算是否正确？如有错误，请改正.

（1）[a8÷a4=a2];

（2）[t10÷t9=t];

（3）[m5÷m=m5];

（4）[（-z）6÷（-z）2=-z4].

3.计算 [（3-π）0+（-0.2）-2] = .

4.若[（x-2）0]有意义，则x .

（六）课堂小结

师：同底数幂的乘法、除法、积的乘方、幂的乘方等法则的正用、逆用以及其他复杂运算，都是我们学习的内容，万变不离不宗，只要同学们善于思考、积极思考，就一定能领悟数学真谛，体会学习数学的快乐.通过本节课，我们把幂的这几种运算整合在一起，高屋建瓴，使大家对幂有一个整体的认知.随后的几节课，我们将通过对具体的习题的练习，进一步加深理解.

设计意图：从知识、思想、方法等角度回顾并延伸所学，并赋予同本节课相关的解释，升华了数学思想，有层次、有深度，体现了课堂的完整性.

（七）板书设计

<F：＼茂恒＼杂志社＼中学教学参考第9期（中旬）＼s8-24.tif>

（八）課后反思

通过本节课的建构，提高学生的数学核心素养.本节课着重训练学生的数学抽象能力、逻辑推理能力和数学运算能力.随后的几节课，将通过对具体的习题的练习，进一步加深学生对相关知识的理解，逐步使学生会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界、表达现实世界.

这样的数学思维训练，不可能一次就使得学生的数学思维能力、抽象能力突飞猛进，但是在长期的过程中坚持这种训练，学生必有长足的进步.

长期以来，教学中教师整体思维、逻辑思维等匮乏，以及碎片化教学使得课堂教学事倍功半.整体性教学设计可以让学生先见森林，再见树木，最后又见森林.数学教学的价值在于发现学生的思维，在这个过程中，需要教师的引领和激发，学生有发现问题的快乐，进而进一步促进其自主学习，这样，教育的目的就达到了.

进行整体性的教学设计需要符合学科特点，符合基于学科素养的教学要求.因此，教师要仔细推敲并进行剖析，找到教学设计的关键点.谨以此文抛砖引玉，期望得到各位同仁指正.

[   参   考   文   献   ]

[1]  刘永凤.国际“核心素养”研究的最新进展及启示[J].全球教育展望，2017（2）：31-41+98.

[2]  卜以楼.“再探幂的运算”教学设计[J].江苏教育，2017（11）：29-32.

（责任编辑 黄桂坚）