基于几何画板的课例研究

顾思义

[摘 要]将现代信息技术与课堂教学相融合是时代对教师的新要求，而具有创造功能的几何画板是数学教学的重要工具之一.运用几何画板辅助教学，能提高教学直观性，提高教学效率.

[关键词]一次函数;几何画板;信息技术

[中图分类号]    G633.6        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2021）26-0012-02

《一次函数》是苏科2011年版数学八年级上册的内容，《一次函数的图像》是该章第三节的内容.在此之前，学生已经学过函数和一次函数，知道表示函数的方法有三种，即表格法、图像法和解析式法.在以后的学习中，会接触到反比例函数、二次函数等相关函数知识.因此，一次函数的学习具有承上启下的重要作用，既能加深学生对函数内涵及外延的理解，又是学生学习其他特殊函数的基础.《一次函数的图像》则是重中之重.从整册教材来看，这是学生在学习平面直角坐标系后第一次真正意义上地运用坐标系来画函数、研究函数，是学生对画函数图像的初步尝试和方法总结，是用数形结合思想掌握一类函数性质的高效实践.从本章内容来看，学习图像有助于对一次函数的了解，并为后续深入应用一次函数解决问题做好铺垫.而几何画板作为一个专业的画图软件，既可以用来画几何图形和函数图像，又可以动态演示图形变换过程，且保持几何关系不变，为探究几何图形和函数图像提供了奇妙的探究情境，是数学课堂生动、富有趣味地开展的重要媒介.

一、运用几何画板探究新知

《一次函数的图像》的教学目标主要有两部分，一部分是学生学会画一次函数的图像，总结出画函数图像的基本方法，并会用两点法画一次函数的图像;另一部分借助一次函数的图像，数形结合来理解一次函数的性质.下面就将从这两个方面思考怎么让几何画板融入教学，服务于课堂.

第一节课，不妨就以教材“香燃烧”的例子引入，可播放提前录制的香燃烧的微视频增加学生的兴趣，继而展示书本上的几组图片，通过填写表格，求解析式[y=16-0.8x]，得出“香的长度是时间的函数”的结论.我们是以表格和解析式两种方式来表示函数的.进一步将香的顶端连接，发现端点在同一直线上.如何将函数的表示引入到图像阶段，开展新课教学？此时，可运用几何画板直观展示这些特殊时刻的端点在同一直线上.学生不难理解连接端点所得线段上的每一点都表示该时刻香的长度.故可借助几何画板将无数个时刻所分别对应的香的长度在已建立的平面直角坐标系中描出来，进而直观展示出它们在同一直线上，与解析式[y=16-0.8x]相结合，学生不难理解一次函数[y=16-0.8x]的图像是一条直线（如图1）.

第二节课，学生需要掌握的内容有：①一次函数[y=kx+b（k≠0）]图像的增减性与[k]的关系;②一次函数图像的上下平移与解析式之间的联系.这一节课的内容较多，难度较大，利用几何画板，既能动态展示突破难点，又能压缩时间，提高效率.

对于增减性的问题，教师可事先在几何画板中画出某一次函数的图像，将其解析式标注在旁，在转动该图像的过程中，解析式也随之发生变化.学生不难发现，一次函数图像的增减性与b无关.且当[k>0]时，从左往右看，y随x的增大而增大，图像呈上升趋势;当[k<0]时，从左往右看，y随x的增大而减小，图像呈下降趋势.对于上下平移的问题，教师只需标记并追踪图像上的几个点，由平移前后它们坐标的变化及函数解析式的变化，让学生总结发现：一次函数图像上下平移，k值不发生变化，b值随图像向上平移加、向下平移减（如图2）.

二、 如何实现几何画板的功能

1.一次函数的图像是一条直线

首先建立一个平面直角坐标系，横轴为时间，纵轴为香的长度，依据表格信息，描出几个点的位置，发现它们在同一直线上.接着，设置隐藏按钮将直线隐去，根据实际意义画出图像.我们知道香燃烧的时间x和香的长度y满足函数关系式[y=20-0.8x]，所以我們可以在几何画板中画一条射线，在上面取一个动点，度量其与射线端点的长度，作为时间x的不同取值，以此为参数求出“[20-0.8x]”的值作为y，在坐标系中画出点（x，y）.点构成线，随着画点数量的逐渐增多，[y=20-0.8x]这样一条直线越来越清晰，为最后由特殊到一般得出“一次函数的图像是一条直线”做直观的视觉支持.

2.一次函数的增减性与k值之间的联系

在这里最好设置两个参数k和b，虽然增减性只与k有关，与b无关，但一次函数的表达式是由y和b一起决定的，因此引入两个可变参量更能有力说明.具体地，可直接在x轴上取两个动点并设置动画按钮，分别度量其横坐标作为y和b的值，再以此来画一次函数[y=kx+b]的图像.在图像与解析式共同变化的过程中，学生不难有所发现.

3.一次函数图像上下平移与b值的关系

与上面方法类似，这里也设置两个参数k和b，并先作出初始图像.设置第三个参数，作为直线上下平移的距离.在实际平移中，可以由初始图像上两个点的上下平移来得到平移后的图像，再求出平移后直线的解析式.多次改变k或b的值，依据第三个参数和平移后得到的解析式，结论呼之欲出.

三、习题中几何画板的辅助作用

在例题讲解与练习中，我们经常会遇到动态问题.如果仅仅依靠板书很难展示动态化的过程，凭空想象也不利于学生理解问题.此时，几何画板就能发挥其动态演示的作用，将抽象的数学知识变得直观、形象，培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力.

[例1]在平面直角坐标系[xOy]中，已知[A（-1， 0）]、[B（3， 0）]、[C（0，-1）]三点，[D（1， m）]是一个动点.当[△ACD]的周长最小时，[△ABD]的面积为 .

首先，如图3（a），可以标记y轴上某一动点的纵坐标为m，绘制并追踪点[D（1， m）]，学生发现点D是直线[x=1]上的动点.其次，如图3 （b），标记直线[x=1]，作出点[C（0，-1）]关于标记直线的对称点[C'（2，-1）]，具有[CD=C'D]，而[AC=2]，故[△ACD]周长最小，只要[AD]与[C'D]的和最小即可.如图3（c），在直线[x=1]上移动点D，联结[AC']，发现[AD+CD≥AC']，可得图3 （d），当点A、点[C']、点[D]三点共线时，[△ACD]周长最小，求出直线[AC']与直线[x=1]的交点坐标D，即可求出[△ABD]的面积.

这一题中，学生会遇到以下几个难点：（1）对点D所在的位置不清;（2）不明白当点A、点[C']、点[D]三点共线时，[△ACD]周长最小;（3）计算错误.有几何画板的动态演示过程，前两个难点容易解决，也为学生提供了解答这一类习题的思想方法.

四、几何画板运用于教学的一点思考

几何画板用于一次函数的教学，是充分运用数形结合的思想，有效帮助学生发现新知、理解新知.在课堂教学来看，这种新技术的运用，除了能让知识的启发与传递更自然、广博和深刻，更能调动学生的多种感官.对教师来说，开发新的教学资源，提高教学效率，是职业能力提升的途径之一.

在实际操作中，难度还是比较大的.一是对教师的能力要求较高，需要教师在充分把握教材的基础上，会熟练运用几何画板，做出适合于学生和教学的课件，不只是知识的简单呈现;二是学生的层次性，课件如何让每一位学生都能获得思考和收获，而不成为“看热闹”的工具，需要教师在实践中努力探索.

（责任编辑 黄桂坚）