重推理强运算 落实学科育人

栾功

[摘 要]试题的命制不仅是教学检测和教育评价的重要环节，也是落实学科育人的有效途径.通过剖析模拟题命制的过程，能为高三数学教学落实学科育人提供参考.

[关键词]学科育人;解析几何;模拟题;命题

[中图分类号]    G633.6        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2021）26-0001-04

2019年，教育部明确提出要立足全面发展育人目标，构建“核心价值、学科素养、关键能力、必备知识”在内的高考考查内容体系.《中国高考评价体系》的发布进一步健全了“立德树人”的落实机制，为教育评价和全面育人提供了重要依据.

数学育人要用数学的方式进行，数学的知识结构、思维方式和符号化表达正是数学的特点所在，逻辑性强，简明而精确，具有四两拨千斤的功效.数学育人就是要体现数学的这种特点.数学育人的基本途径是对学生进行系统的思维训练，而训练的基本手段是让学生进行逻辑推理和数学运算.推理的严谨性和简洁性，运算的正确性，算法的有效性，对发展学生的数学思维，培养学生的科学精神大有裨益.解析几何内容在高中数学课程中占有重要地位，体现数与形的和谐统一，也是综合考查学生逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养的重要载体.下面笔者以一道南宁市2020届高三一模解析几何试题的命制过程为例，说明高三数学教学如何落实学科育人.

一、试题呈现

原题：（南宁市2020届高三一模理20题或文21题）已知橢圆C：[x24+y2b2=10<b<2]的离心率为[12]，[F]为椭圆的右焦点，[PQ]为过椭圆中心[O]的弦.

（1）求[△PQF]面积的最大值;

（2）动直线l：[y=12x+t]与椭圆[C]交于[A]，[B]两点，证明：在第一象限内存在定点[M]，使得当直线[AM]与直线[BM]的斜率均存在时，其斜率之和是与[t]无关的常数，并求出所有满足条件的定点[M]的坐标.

二、试题评析

（一）试题背景与题源

《中国高考评价体系》系统论述了“为什么考、考什么、怎样考”的问题，其中“一核”为核心功能，即“立德树人、服务选材、引导教学”，体现在高三数学模拟试题命制中的一个重要目标就是“引导教学”，旨在引导高三数学教师对课本例题、习题进行深入挖掘，加强对历年高考真题的解法研究与规律探究，在通性通法的基础上创造性地使用教材和高考真题，重视“四基”的落实和“四能”的提高，逐步提高学生的解析几何素养.

命题背景1 （圆锥曲线共轭弦性质）：如图1，设点[Ax0， y0]是对称轴平行于坐标轴的定圆锥曲线（包括圆、椭圆、双曲线和抛物线）Г上一定点，[E]，[F]是Г上两个动点，若直线[AE]，[AF]的斜率互为相反数，则直线[EF]的斜率存在时为定值，等于曲线Г在点[A]处切线的斜率的相反数.

（1）当曲线Г是有心圆锥曲线时，设方程统一形式为[λx2+μy2=1]（[λμ≠0]），则[kEF=λx0μy0y0≠0];

（2）当曲线Г是抛物线时，可设[C]：[y2=2pxp≠0]，则[kEF=-py0]或[C]：[x2=2pyp≠0]，则[kEF=-x0p].

题目1：（2009年辽宁省高考理20）如图2，已知椭圆[C]过点[A1，32]，两个焦点为[-1， 0]，[1， 0].

（1）求椭圆[C]的方程;

（2）[E]，[F]是椭圆[C]上的两个动点，如果直线[AE]的斜率与[AF]的斜率互为相反数，证明直线[EF]的斜率为定值，并求出这个定值.

题目2：（2004年北京卷理17）如图3，过抛物线[y2=2pxp>0]上一定点[Px0， y0y0>0]，作两条直线分别交抛物线于[Ax1， y1]，[Bx2， y2]，当直线[PA]与[PB]斜率存在且倾斜角互补时，求[y1+y2y0]的值，并证明直线[AB]的斜率是非零常数.

题目3：（2016年浙江省预赛17）已知椭圆[C]：[x2a2+y2b2=1a>b>0]，经过点[P3，165]，离心率为[35]，过椭圆[C]的右焦点作斜率为[k]的直线[l]，交椭圆于[A]，[B]两点，记[PA]，[PB]的斜率为[k1]，[k2].

（1）求椭圆的标准方程;

（2）若[k1+k2=0]，求实数[k].

命题背景2：在圆锥曲线中以两直线的倾斜角互补或者两直线斜率之和的关系构图来考查学生数形结合思想、逻辑推理能力、数学运算能力等，这在近年全国卷中多次呈现.

题目4：（2017年新课标Ⅰ卷）已知椭圆[C]：[x2a2+y2b2=1a>b>0]，四点[P11， 1]，[P20， 1]，[P3-1，32]，[P41，32]中恰有三点在椭圆[C]上.

（1）求[C]的方程;

（2）设直线[l]不经过[P2]点且与[C]相交于[A]，[B]两点，若直线[P2A]与直线[P2B]的斜率之和为[-1]，证明：直线[l]过定点.

（二）命题预设

1.考查目标拟定

解析几何兼具“数”与“形”的统一，主要思想方法是通过点的坐标运算揭示“形”所蕴含的数学本质.试题的命制立足高考评价体系，以“一核四层四翼”为指导，重点考查学生的直观想象能力、逻辑推理能力、数学运算能力以及分析问题和解决问题的能力.

具体的考查目标设定为利用已知条件求圆锥曲线的方程，并由方程和其他几何条件（性质）求解与曲线有关的几何关系问题.考查的本质是选择一条直线和一条曲线（其中一条含参数），从坐标平面上的特殊点出发引发直线，选取适当的参数值，提出并解决与其中的线段或角有关的几何关系问题.

2.命题实测与打磨

题目主干预设为已知一条直线和一条圆锥曲线的方程（其中一个含参数）以及相应的几何条件.（1）求含参曲线的方程（或求圆锥曲线的相关特征量，如离心率等）;（2）求几何量范围或定点、定值问题.

试题第（1）问设计了过椭圆中心[O]的动直线交椭圆于[P，Q]两点的背景，求[△PQF]面积的最大值.学生通过对这一简单背景的认识，可以从不同角度入手求解[△PQF]面积的最大值.第（1）问是直线与椭圆最基本的一个问题，考查学生解析几何的基础知识和基本方法，试题命制基于中国高考评价体系，同时体现了对高三学生的人文关怀，突出体现了试题的基础性.

试题第（2）问基于题源与背景的规律性，经历了三次实测研讨与打磨，最终依据命题中心组教师对试题所体现的核心素养考查综合评价（见表1）的独立打分与集体研讨，选择了以素养导向创新设计的开放探索性问题.即动直线[l]：[y=12x+t]与椭圆[C]交于[A]，[B]两点，探索椭圆[C]上是否存在定点[M]，使得当直线[AM]与直线[BM]的斜率均存在时，其斜率之和是与[t]无关的常数.试题以探索性的开放形式呈现，着重考查考生的逻辑推理能力、数学运算能力、分析问题和解决问题的能力，考查学生的理性思维、数学应用和数学探索素养，具有一定的区分度.

以下是试题第（2）问三次实测与命题中心组成员研讨修改的过程.

命题1 ：如图4，已知椭圆[C：x24+y23=1]，斜率为[12]的直线[l]与椭圆[C]交于[A]，[B]两点，点[Q1，32]在直线[l]的左上方，求证：[△QAB]内切圆的圓心在定直线[x=1]上.

立意：命题以第（1）问为基础，引入内切圆对知识情境进行了创新，要证[△QAB]内切圆的圆心在定直线[x=1]上，即证直线[x=1]是[∠AQB]的角平分线，从而问题转化为求证[∠AQF=∠BQF]，即证明[kQA+kQB=0].

实测与研讨： 试题的优点是引入了内切圆的知识情境.但优点有时候恰是缺点，试题的卡点在于学生对内切圆的理解.如果能顺利把问题转化为证明直线[x=1]是[∠AQB]的角平分线，那么问题就会迎刃而解;如果学生对内切圆圆心理解不到位，问题得不到转化，那么这个题目就会出现难以下笔的可能.在一模考试中既要考查学生的数学学科素养，也要兼顾学生学习数学信心的培育.综合研讨后开始了第二次试题优化.

命题2：如图5，已知椭圆[C]：[x24+y23=1]，[A]为椭圆的右端点，[PQ]为过椭圆中心[O]的弦，[PQ=2QA]，设[M]，[N]是椭圆上位于直线[AP]同侧的两个动点（异于[A]，[P]），且满足[∠MQP=∠NQA]，试讨论直线[QM]与直线[QN]斜率之间的关系，并求证直线[MN]的斜率为定值.

立意：命题2在命题1的基础上简化了知识情境，通过创新引入椭圆上两点[M]，[N]，用[∠MQP=∠NQA]替换了内切圆隐含的角平分线性质.难度有所降低，解法的得出也显得较为顺利，依据题意可得[Q1， 32]，则直线[QF⊥x]轴，从而[∠MQP=∠NQA]，即[∠MQF=∠NQF]，故问题转化为已知[kMQ=-kNQ]，求证[kMN]为定值.试题重点考查学生的逻辑推理能力，数学运算主要是对点的表达，用“知一求一”和同构方法可优化运算.

实测与研讨：命题2在命题1的基础上简化了知识情境，降低了直观想象和逻辑推理的要求，题目入手相对容易，接下来的数学运算目标明确，点的坐标求解方法不难.审题意见：一是总体区分度不够;二是数学运算没有障碍，因此需要进一步调整试题，在保证整体难度不变的前提下调整数学运算的难度.于是就有第三次对试题的优化与调整.

命题3：动直线[l]：[y=12x+t]与椭圆[C]：[x24+y23=1]交于[A]，[B]两点，证明：在第一象限内存在定点[M]，使得当直线[AM]与直线[BM]的斜率均存在时，其斜率之和是与[t]无关的常数，并求出所有满足条件的定点[M]的坐标.

立意：命题3在命题2的基础上做了题设和结论的对调，试题由确定性问题变为开放性问题，通过设点来讨论含有多个字母的式子运算，对考生运算能力的考查要求突出.

实测与研讨： 解析几何大题作为压轴题出现，既要体现综合性又要兼顾基础性，既能让更多的学生入手，又具有选拔的功能，这就对试题区分度的要求很高.因此命题3在命题2的基础上做了题设和结论的对调，通过给出动直线[l]：[y=12x+t]的方程，探求定点问题.试题降低了对直观想象和逻辑推理的要求，加强了数学运算的要求，命题3相比命题1、命题2起点低，区分度高，总体更为符合该题的难度和功能要求.

（三）试题解答与分析

1.试题解答

（1）设椭圆的半焦距为[c]，则[c2=a2-b2]，由[e=ca=c2=12]得[c=1]，故[b=3].

下面用不同解法求解[△PQF]面积的最大值.

解法1：如图6，由椭圆的对称性知，[S△PQF=S△QFO+S△PFO=2SQFO]，由题意知[OF=1]，点[Q]到直线[OF]的距离最大值为[b=3]，所以[S△PQF=bc=3]，故[△PQF]面积的最大值为[3].

解法2：由椭圆参数方程可设[Q2cos θ，3sin θ]，因为点[P]与点[Q]关于原点对称，所以[S△PQF=2S△QOF].

所以[S△PQF=2×12×1×3sin θ=3sin θ≤3]，当[θ=π2]或[θ=3π2]时取等号.

解法3：设点[Qm， n]，[P-m，-n]，则直线[PQ]的方程为[nx-my=0].

[PQ=2m2+n2]，点[F]到直线[PQ]的距离[d=nm2+n2].

所以，[S△PQF=12PQd=12⋅2m2+n2⋅nm2+n2=n ].

因为点[Q]是椭圆上任意一点，则有[0≤n≤3]，所以[S△FAB=n≤3].

所以，当[n=3]时，[△PQF]面积的最大，最大值为[3].

解法4：设点[Qm， n]，因为点[P]与点[Q]关于原点对称，所以[S△PQF=2S△QOF=2×12×OF×n=n]，因为点[Q]是椭圆上任意一点，则有[0≤n≤3]，所以[S△FAB=n≤3].所以，当[n=3]时，[△PQF]面积的最大，最大值为[3].

点评：本题第（1）问的命制更加注重基础知识的巩固与理解，主要考查了直线和椭圆的基本概念、直线和椭圆的位置关系、椭圆的基本性质与三角形面积的计算，主要思维障碍在于△[PQF]面积的表达，要从图形入手结合椭圆的对称性转化△[POF]的面积，借助图形或者坐标运算来表达求解，而这正是求解第（1）问的卡点所在，也是笔者精心设计此题的亮点所在.从学生的答题情况来看，文科生得分率很低，他们习惯了刷题求解椭圆方程的题目，当第（1）问改变了考法，他们的应变能力和分析问题与解决问题的能力欠缺，建议文科班加强基础知识的巩固教学，增加适当的变化训练.相比文科生，理科生第（1）问的答题情况较好，大部分学生可以顺利解答.数学尖子生的答题书写规范，且能用多种方法求面积的最值，基本达到了命题预设目标.

（2）由（1）知椭圆[C]：[x24+y23=1]，设[Ax1，12x1+t]，[Bx2，12x2+t]，[Mm， n]，[y=12x+t]代入[x24+y23=1]得[x2+tx+t2-3=0]，则有[x1+x2=-t]，[x1x2=t2-3]，

直线[AM]与直线[BM]的斜率之和[kMA+kMB=n-12x1-tm-x2+n-12x2-tm-x1m-x1m-x2=n-32mt+2mn-3t2+mt+m2-3]为与[t]无关的常数，可知当[n=32m]，[2mn=3]时斜率的和为[0]，解得[m=1，n=32]或[m=-1，n=-32.]（舍去）

综上所述，所有满足条件的定点[M]的坐标为[1， 32].

点评：第（2）问命制开放式的探索性问题，符合由能力立意到素养导向的课程改革要求，也是笔者再三考虑调整后命制第（2）问的亮点所在.难点在于运算，对于斜率之和式子的化简需要扎实的基本功和运算信心.从学生答题来看，学生懂解析几何大题的答题步骤方法，会联立方程写出韦达定理，准确写出斜率表达式，绝大部分学生卡在对斜率表达式的代数变形环节，再次说明了学生的运算能力和运算信心不足.在解析几何教学中，教师要有意识地训练学生的运算能力，提升学生的数学运算素养.

三、教学建议

（一）重视基础，强化运算

数学运算是数学能力的着重体现之一，不论大中小学生，几乎都是谈“算”色变.其实“数学运算”并没有那么可怕，尤其是作为核心素养的数学运算不单是考查学生的运算功底，而且是考查学生对运算对象的理解、运算法则的掌握、运算思路的设计，考查学生通过设计合理的运算方法和有效的运算途径来解决实际问题的能力.如文章中出现的求证直线[EF]的斜率为定值，那么思路自然是探索点[E ， F]的坐标如何表示.在课堂实践中发现许多学生习惯于设直线[EF]的方程为[y=kx+m]，和椭圆联立后借助韦达定理消参.实践证明，这样的消参方法运算量很大，很多学生都卡在了消参环节.若在思考运算对象[E]，[F]的坐标表示，不难发现点[E]，[F]都是过点[A1，32]的两条直线与椭圆的交点，发现这两个点是同构特征，只需要求出点[E]便可得到点[F].再来看点[E]，其为直线[AE]与椭圆的另一交点，而其中一个交点[A]已知，故可以知一求一，这样将在很大程度上优化运算方法，提升学生的思维品质.

（二）研究课标，提升素养

《普通高中数学课程标准（2017年版）》提出了中学生数学学科六大核心素养，并明确数学教育教学要以发展学生的数学学科核心素养为导向.具体体现在解析几何大题中就是通过命制试题考查学生的逻辑思维能力，通过数学运算和实践探索来考查学生的数学应用素养.总之，数学课程标准的核心素养与高考评价体系的学科素养和高考数学科学生素养相辅相成，有机统一，教师应通过有效教学途径来培育学生的核心素养，落实学科育人的任务.

[   参   考   文   献   ]

[1]  史宁中，王尚志.普通高中数学课程标准（2017年版）解读[M].北京：高等教育出版社，2018：11.

[2]  教育部考试中心.中国高考评价体系[M].北京：人民教育出版社，2019：11.

[3]  教育部考試中心.高考试题分析：理科数学分册[M].北京：高等教育出版社，2020：1.

[4]  任子朝，赵轩.基于高考评价体系的数学科考试内容改革与实施路径[J].中国考试，2019（12）：27-32.

（责任编辑 黄桂坚）