核心素养背景下习题变式教学的育人价值

贾红召 王艳梅

[摘 要]充分挖掘教材中例题和习题蕴含的思想方法，对学生进行核心素养的培养是数学教师的基本功.文章结合北师大版数学必修4的习题探讨习题变式教学的育人价值.

[关键词]核心素养;习题;变式;育人

[中图分类号]    G633.6        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2021）26-0005-02

北师大版数学必修4复习题一B组有这样一道题：

求函数[y=3sinx+1sinx-2的值域].

大部分学生都会以下两种解法.

解法一：从函数的角度可以看作分式函数[y=3t+1t-2]与正弦函数[y=sinx]的复合函数.由此得到[y=3t+1t-2=3t-2+7t-2=3+7t-2]，由[-1≤t≤1]可得[-3≤t-2≤-1].因此[-7≤7t-2≤-73]，得[-4≤y≤23].即函数值域为[-4，23].

解法二：利用[y=sinx的有界性]进行未知量转换，原式可等价转化为[sinx=2y+1y-3]，由[sinx≤1] 得[2y+1y-3≤1]，解得[-4≤y≤23].即函数值域为[-4，23].

其中有个学生用这两种方法解答后还写了一句话：老师，这道题还有其他解法吗？这引起了笔者对这道题目解法的反思.就本题来说其他的解法并不一定更简单，但是从对数学本质的认识和理解角度说仍具有很高的探讨价值.

于是笔者给出了一道变式题目：

求函数[y=3sinx+1cosx-2]的值域.

由于学生还没有学到三角函数的辅助角公式，也没有学习三角函数万能公式，对数学思想理解不深刻，不具备数形结合素养，一时很难找到这道题的解法.笔者让学生课后探究本题的解法并在下节课上进行交流.学生很快找到此题的若干种解法.其中一种解法是从数形结合的角度出发得到[y=3sin x+1cos x-2]表达的几何意义是点[（cosx， 3sinx）]与点（2，-1）连线的斜率，而点[（cosx， 3sinx）]的轨迹是焦点在y轴上的椭圆[x2+y24=1].问题转化为过点（2，-1）的直线与椭圆[x2+y24=1]有公共点时求直线的斜率的取值范围.但高一学生没有学过椭圆的方程和性质，纷纷表示看不懂此解法，不由得质疑起笔者随意变式终于变得超“纲”了.其实这种解法的本质基于数学学科对数学对象的不同角度的认识和理解.我们眼中看到的是数（函数，方程）式（等式，不等式，分式，整式），脑中要意识到数、式背后的图像、图形、曲线等几何特征.那么我们能不能构造出学生能理解的几何呢？自然要从函数式子本身的变形开始研究.[y=3sinx+1cosx-2]可以化为[y=3sinx+13cosx-2]，该数学式子表达的几何意义是：点[（cosx，sinx）]与点[2，-13]连线斜率的3倍.设点[A（cosx，sinx）]，[B2，-13]，易知点A在单位圆[x2+y2=1]上运动，问题转化为过点[B2，-13]的直线与单位圆有公共点时，求直线斜率取值范围的3倍.

解：设过点[B2，-13]的直线l方程为[y+13=k（x-2）]，l与圆[x2+y2=1]有公共点，圆心（0，0）到直线l的距离[d≤r=1]，即[-2k-131+k2≤1]，解得[-2-279≤k≤-2+279].因此函数值域为[-2-273， -2+273].至此问题得以完美解决，学生也体会到了数形结合的妙处，学会了变换不同角度观察数学对象.但笔者总觉得意犹未尽，能不能让学生对数学的理解更加深刻呢？

笔者立刻引导学生回到题目：求函数[y=3sinx+1sinx-2]的值域.请学生从形的角度观察这个函数式，看看能不能利用数形结合的思想来求函数的值域.

很快就有学生写出新的解法：

[y=3sinx+1sinx-2]表示点[A（sinx， 3sinx）]与点[B（2，-1）]连线的斜率，而点A的轨迹是线段[y=3x]，[-1≤x≤1].问题转化为过点B的直线与线段[y=3x]，[-1≤x≤1]有交点时求直线斜率的取值范围.

数形结合，問题迎刃而解！学生很是兴奋.笔者要强化学生的学习成就感和获得感.提出以下变式练习.

利用数形结合思想求下列函数的值域：

（1）[y=3x+1x-2] ;（2）[y=x2+1x].

几乎所有学生都发现数式与图像的联系，写出美妙的解法来.

（1）[y=3x+1x-2] 表示点[A（x， 3x）]与点[B（2，-1）]连线的斜率，而点A的轨迹是直线[y=3x] ，因此问题转化为过点[B（2，-1）]的直线与直线[y=3x]相交时求直线的斜率.显然斜率[k≠3]即可，因此函数值域为[xx≠3].

（2）[y=x2+1x]表示点[A（x， x2）]与点[B（0，-1）]连线的斜率，而点A的轨迹是抛物线[y=x2] ，因此问题转化为过点[B（2，-1）]的直线与抛物线[y=x2]有公共点时求直线的斜率.设直线方程[y=kx-1]，联立方程[y=kx-1，y=x2]有解，得[方程x2-kx+1=0]有解.即[Δ=k2-4≥0]，得[k≥2]或[k≤-2].因此函数的值域为[-∞，-2∪2，+∞].

至此，学生悟出道理：只要是分式都可以尝试构造出两点连线的斜率[y1-y2x1-x2]的几何意义.那么还有哪些数学式子可以构造出几何背景来呢？

再比如，求函数[y=x2+4x+8+x2-4x+5]的值域.

观察函数发现，用一般方法不好继续进行，但发现，根号下的形式比较像两点间的距离公式，所以可以改造函数，经过改造、整理函数得

[y=（x+2）2+4+（x-2）2+1]，

[y=（x+2）2+（0+2）2+（x-2）2+（0-1）2].

这时我们可以把函数看成坐标系内的三个点间的距离和.[P（x， 0）， A（-2，-2）， B（2， 1）] ，即[y=PA+PB] .

通过观察图像，这时所求的目标就很明显了，

当P处于AB连线上时，[y=PA+PB]取到最小值.

[y=AB=5]，所以[PA+PB≥5]，即函数值域为[y∈5，+∞].

上述研究的是从数形结合的角度求一些函数值域，其实不仅仅是求值域，研究方程的解、不等式的解集、向量的运算等都可以展现数形结合的魅力.从更高的角度说，我们要学会从不同的视角观察、分析数学对象.表面是数，背后是形;眼中是形，脑中有数.其实也不仅仅是学习数学过程中，我们生活中遇到困惑时也需要变换角度思考问题.换位思考就是一种生活智慧.

抓住典型的数学问题，变式研究凸显不变本质，认识到数学的变与不变，体会到数学中蕴含的哲学原理，能让学生对数学的理解上升到新的高度，而学生的数学核心素养自然也就落地生根.

[   参   考   文   献   ]

[1]  黄河清.高中数学“问题导学”学习策略[M].南宁：广西教育出版社，2019：138-153，198-207.

[2]  严士健，王尚志.普通高中课程标准实验教科书数学4必修[M].北京：北京师范大学出版社，2016.

（责任编辑 黄桂坚）