沿波讨源悟算理

袁蕴闻

【摘 要】算理理解是开展小学计算教学的奠基石。算理是算法成立的原理，算法是算理深入的生成。教师应引导学生沿波讨源，在学习计算的过程中透彻地领悟算理，悟“理”明“法”，以“理”表“法”，从而提升综合计算能力。

【关键词】算理 算理理解 小学计算教学

对于小学生来说，计算能力是学习数学基本而关键的能力，对其他数学板块的学习有着直接的影响。新课程改革至今，数学教师的教学理念已经从反复教学算法得到正确计算结果，转变为理解算理并生成表征化的算法。但何为算理？又如何基于算理理解展开计算教学呢？一线教师对这些层层递进的问题仍存在疑惑，导致计算教学浮于表面，学生难以形成优质的计算技能。目前小学计算教学的重要任务即为厘清这些问题，并有针对性地实施有效策略，最终提升学生计算能力。

一、小学计算教学中算理的认知

在《现代汉语词典》中，“算”有“计数”之义，“理”有道理;事理之义。由此可以界定小学数学计算教学中的算理为“计算的道理”。

算理是“计算的道理”，与算法有着紧密的联系，要想生成出算法，需要根据对应的算理。正确计算的先决条件就是厘清算理，算理是直观存在的定律，提供了准确的思考方式，确保计算准确。如果说算法是计算的方法，用来回答“怎么去计算”这一问题，那算理则是解决“为什么要这样去算”的数学依据;如果说算法是四则运算的基本陈述性知识，那算理便是一种程序性知识;如果说算法是一种外在方法，那么算理便是隐性内涵。

在数学学习过程中，学生领悟与表达算理，不仅能形成并优化具体计算的算法，还从显性层面反映了学生数学思维活动的过程，最终搭建出转化数学思维方式的有效模型。进一步解读学生获取数学知识的步骤，以及对算理的深入探索与领悟，有助于提高学生解决不具象的数学问题的能力，并聚焦于弄清“为什么”这样解决，在复杂的数学探索过程中优化出多种具象的算法，实现由表及里，内外合一。

二、小学计算教学中算理理解的整体分析

整数、小数、分数的计算是小学数学计算教学中的三大领域，而加、减、乘、除运算则是教学中的四种运算方式，即四则混合运算。其中“整数四则混合运算”是中低年级学生计算学习的重点，“小数四则混合运算”及“分数四则混合运算”则是中高年级学生计算学习的难点。笔者研究并全面解析小学数学苏教版教材中计算单元的结构案例，从整体上分析小学计算教学中的算理理解，并着重分析下面三点内容：

1.呈现有利于算理理解的素材

算理是计算的依据，要想理解算理，自然要清晰地呈现计算的依据，即有利于“算理理解”的教学素材。教师呈现教学素材时，还需要考虑学生的学习特点、心理需求等。一般来说，小学低年级学生对具象的素材更感兴趣，并需要在操作、交流、总结后才能理解算理。所以，低年级的计算课教学，教师会借助有趣的情境图、贴近生活的实物及数学学具盒（小棒、圆片、计数器等）來让学生展开探究。如一年级学生学习简单的“10以内的加减法”时，可以借助小棒的分与合来理解算理。而中年级学生已经建立起了初步的抽象思维，教师则可以引导学生借助情境和已有的计算知识先自主探究算理，再归纳优化算法。高年级的学生已经具备一定的思考能力，教师可以调动学生已有的生活经验，借助实际问题中的数量关系或用画线段图的方法等来帮助理解算理。教师在展开计算教学时，要结合学生的实际情况，呈现出有利于算理理解的学习素材。

2.引导有利于算理理解的方式

不同学段的学生由于认知水平不同，对于算理理解的方式也各不相同。基于算理理解的视角下，对低年级学生开展教学，教师要引导学生充分调动已有的与生活相关的数学经验，如一年级学生初学10以内的加减法，就可以由学生已有数数的经验，引申出在列竖式时要注意个位与个位相加、十位与十位相加，逐步抽象出算法。对中年级学生展开教学，教师要引导学生调动已有的计算学习经验，再重新建构出新的算理。如学习“有余数的除法”时，学生先联系回顾简单的表内除法，再厘清有余数的除法的算理，最后再建构出相应的算理。对高年级学生展开教学，教师要引导学生整体探究、融会贯通、由浅入深，从已有的整数四则混合运算类比到小数、分数的四则混合运算，建立起小学阶段对于已学算理的整体性感悟。如学习“分数乘法”，探究算理时想到学习整数的混合运算，乘法的含义是几个几相加，那分数的乘法含义只是变成了几个几分之一相加，透彻理解了算理，算法的生成不再是难题。教师对低年级、中年级学生的引导要更注重“点”，而对于高年级的引导则要更注重“面”，这样才能帮助学生理解算理实现从“形”到“质”的跨越。

3.构建有利于算理理解的结构

算理理解和算法掌握是小学计算教学的两大使命，并驾齐驱方能有效促进计算教学的进步。算理理解是算法合理的关键原理，而掌握算法是计算时能快速计算的关键，两者内在统一，不能割裂。低年级学生理解算理以操作为主，学生会摆小棒，即为初步理解算理，这时算理和算法的呈现比较相似，学生具备了初步的计算能力。中年级学生理解算理的过程是半抽象的，以低年级学的“十进制”为基石，结合数学思维中已有的计算原理，衍生出比较便捷的列竖式的计算方法，或是估算的快捷方法等，算理和算法不再是相似的，而是演化成了建立在算理认知基础上的再建造出的算法。高年级学生理解算理的过程要调动已经掌握的数学思想及一些基本概念，从已建构的知识结构中，迁移出适合自己的算法，算理与算法呈螺旋状上升趋势，交互共进，密不可分。不同学段的学生，对于算理理解的结构也不相同，但结构的构建是慢慢递进和系统化的，教师在教学中要注重构建有利于算理理解的结构。

三、小学计算教学基于算理理解的有效策略

《义务教育数学课程标准（2011年版）》中明确提出：“教师要注重学生理解和掌握计算基础知识、技能，不仅要让学生掌握技能操作的程序与步骤，还要学生理解程序和步骤的道理。”在计算教学中，学生要基于算理理解再优化计算方法，这样学生才能体会到算法的合理性及科学性，而不是死记硬背，教师授人以“渔”的重要性也体现在此。

1.借助经验，寻找算理理解突破口

学生已有的数学经验，就是学生学习数学的兴趣所在、源头所在，学习是利用原有认知和经验主动建构来理解新知，在已有经验基础上再加工，找到算理理解的突破口。教学不能忽视已有经验，应该借助经验顺势而上，许多算理都若隐若现地藏在学生的生活中。如在苏教版数学三年级下册“混合运算”一课的情境图中，小明买2盒水彩笔，付出50元，问题是：应找回多少元？学生根据生活经验，讨论后都提出要先算出2盒水彩笔花了多少元，才能算出找回的钱。由此可见，学生对这一类型题目的算理已经理解了。学生借助已有经验，敲开了学习计算新知的算理大门，轻松地寻找到了算理理解的突破口。

2.巧用直观，构建算理理解支撑点

课堂上常出现学生表述不清楚算理的情况，但学生的思维却是直观的，这是深入构建算理理解的关键抓手。直观的方式有很多，学生面对模型直观、几何直观、实物直观、操作直观等都能很具体地进行思维创造，从而深化算理理解。如苏教版数学二年级上册“表内除法”一课中的例题借助“分桃子”“分小棒”这种直观操作，让学生在动手中建构平均分的概念，从而引出除法算式的算理。基于算理理解的小学计算教学，教师要注重巧用直观的方式，引导学生在直观中探索数学计算知识，经历观察、讨论、探索、歸纳等过程，这样既能培养学生在直观后的思维能力，又能促动学生对算理理解有深度感悟。

3.合理迁移，促进算理理解再创造

在计算教学中，随着年级的提高，学生通过对算理理解的深化，会创造出多样化的算法，教师就要把握好结构上的联结点，引导学生经历从已有经验到直观认知，再迁移出新的算理，最后创造出最优化算法的过程。如在学习苏教版数学三年级上册“同分母分数的加减法”一课时，学生发现分母表示的都是几分之一，只要看分子加起来一共有几个几分之一。这就关联了整数加减法，找到了它们的相同之处。在明晰算理后，学生自然也就讨论出了同分母分数加减法的运算法则，即分母不变分子相加减。原本不会的数学知识，在合理迁移下，学生对新知识对应的算理有了不一样的解读。

计算教学是小学数学教学中的重中之重，算理理解这一奠基石，对培养学生的思维能力、提高学生的计算能力、改善学生的答题习惯有着至关重要的作用。作为教师，要利用策略引导学生深层理解算理，扎实把握算法，双管齐下为学生学习计算提供有效保障。悟“理”明“法”，以“理”表“法”，提升学生综合计算能力，发挥算理理解在计算教学中的育人价值。

注：本文系江苏省教育学会“十三五”规划重点课题“基于算理理解的小学计算教学策略研究”（课题编号：18B4J3SZ45）的研究成果之一。