培养高中生数学建模素养的课例及分析

傅海伦 曾冠予 王彬

【摘 要】 数学模型搭建起了数学与外部世界的桥梁，数学建模是应用数学解决实际问题的基本手段，也是推动数学发展的动力.基于此，高中数学教学中应该高度重视数学建模素养，并将其纳入数学核心素养之中.本文旨在从高中数学课堂教学层面出发，对数学建模素养进行案例分析，并以三种课型为例，对如何培养高中生的数学建模素养进行详细阐述.

【關键词】 高中数学;课堂教学;数学建模;核心素养;课例

为适应时代发展对人才培养的需要，普通《高中数学课程标准》（2017年版）的课程目标中明确提出通过高中数学课程的学习，学会用数学的思维分析世界，发展数学建模素养.将数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析作为数学学科的六大核心素养全面培养学生的数学品质.在数学核心素养中，数学建模素养是其他五大素养的升华和整体体现.首先，模型分析过程中，需要学生有一定的数学抽象素养，善于发现其中隐含的数学关系，将抽象的现实问题转化为数学问题;其次，模型建立过程中，需要学生有较强的逻辑推理、直观想象素养，可以根据所学的知识建立合适的数学模型;最后，模型求解过程中，又需要学生具有一定的数学运算和数据分析素养，对模型进行求解.因此，数学建模素养与数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象、数据分析素养紧密相连，数学建模素养的培养和提高对于提高整个数学核心素养具有重要意义.

数学建模素养的培养以解决实际问题为中心，以培养学生的数学应用意识和分析、解决实际问题的能力为目的.在数学课堂教学中，需要教师指导学生将实际问题抽象转化为数学问题，建立相关的数学模型并利用所学知识进行求解.数学建模教学过程大致分为四个环节：

（1）以实际问题为“原胚”，激发学生的学习兴趣，促进知识的理解; （2）指导学生通过数学抽象进行数学建模; （3）模型求解;（4）检验求得实际问题的解.

在教学环节中融入数学建模是培养高中生数学建模素养的有效方式.数学建模的教学不是建模理论知识的机械讲解，也不是局限于实际问题的引入，重要的是根据所学数学知识与实际问题的联系，在教学中适时地引导，重在使学生明确建模的步骤、发现问题的过程、公式推导的过程以及其中蕴含的数学思想方法，将建模知识的讲授与数学思想方法的教学有机地结合起来，根据不同的实际问题向学生渗透函数与方程、数形结合、分类讨论、转化等重要的数学思想方法.课堂教学中应以“问题情境—模型分析—建立模型—求解、应用”的基本模式呈现知识内容，让学生经历“数学化”与“再创造”的过程，形成自己对数学概念的理解.提倡在关注获得知识的同时，形成自己对数学的理解.

下面，笔者尝试从不同课型出发对数学建模素养进行案例分析.

1 基于问题情境的新课数学建模教学

教材每一章的课前问题、背景引入都是很好的建模原型，教师在新课教学时，应注意渗透数学建模思想，将实际生活中与数学知识相关的案例引入课堂教学，结合新授课让学生掌握基本的数学模型，培养学生模型思想，引导学生将案例内化为数学应用模型，以此激发学生对数学学习的兴趣.

示例1 三角函数模型的简单应用

师：前面我们已经学习了正弦函数、余弦函数的图象、性质及其简单的变换.我们知道三角函数是刻画周期现象的有效工具，而潮汐是一种具有周期性的自然现象，那么能否将三角函数与潮汐现象联系起来呢？能否借助三角函数解决实际问题呢？

海水受日月的引力，在一定时候发生涨落的现象叫潮.一般早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞;卸货后落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表：

（1）请你选用一个三角函数来近似地描述这个港口的水深与时间的函数关系.

（2）若某船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有2.25米的安全间隙（船底与洋底的距离），试问该船何时能进入港口，在港口能呆多久？

大家小组讨论一下，如何利用三角函数模型求解？

（将现实生活中的潮汐现象作为情境引入，设置问题串，引导学生将三角函数与潮汐现象建立联系，将抽象的生活现象转化为学生熟悉的数学问题.）

生1：首先根据已知数据作出散点图，根据散点图的形状大致选取三角函数模型，然后代入具体数据求解.

师：其实这是数学建模的第一步——模型分析，确定三角函数模型，再进行精确的求解计算.在这里我们要特别说明一下模型假设，该模型中我们对自变量只考虑0≤x≤24，下面大家思考一下如何建立模型？

（有意识的向学生渗透数学建模的步骤，从模型分析、模型假设再到建立模型，培养学生逻辑思维能力和规范严谨的数学态度.）

生2：以时间为横坐标，水深为纵坐标，在直角坐标系中画出两变量的散点图，如下图所示，根据所做的散点图可以看出图象近似正弦函数，因此考虑用对正弦函数进行相应变形构建本题模型.  师：好，下面我们进入模型求解阶段，大家可以相互讨论，各抒己见.

生3：根据图象该函数模型是在正弦函数的基础上横纵坐标分别进行拉伸，然后函数图象整体又进行了上移.

生4：观察图象可知该函数周期为12，由T=2πω=12得ω=π6.

师：很好，现在我们可以得到一个已知量ω=π6，下面假设横坐标不变，纵坐标扩大A倍，假设函数图象整体上移h个单位.

（正弦型函数是学生有待学习的内容，教师引导学生从已学的正弦函数和图象的变换出发，数形结合，从图象中挖掘新旧知识之间的连接点，缩小对新知识的认知差距.）

生5：由正弦函数的值域为[-1，1]可知，该函数最大值为A+h，最小值为-A+h，代入具体数据，联立方程可得A+h=7.5，

-A+h=2.5，所以A=2.5，h=5，将各系数代入得到y=2.5sinπ6x+5 ，所以该港口水深与时间的关系可用y=2.5sinπ6x+5（0≤x≤24）近似描述.

（模型求解阶段，启发学生从函数与方程的角度思考问题，设未知数列方程，将有一定难度的正弦型函数问题转化为已学的知识，培养学生函数与方程的思想以及数学运算能力.）

师：很好，现在我们已经构建了一个三角函数模型，我们期望模型可以解决实际问题，如何利用模型解决第二问的实际问题呢？

生6：根据条件，货船需要的安全水深为4+2.25=6.25（米），從而将实际问题转化为数学问题即为当y≥6.25时货船安全.

令2.5sinπ6x+5≥6.25，得 sinπ6x≥12 ，由正弦函数性质可知：

2kπ+π6≤π6x≤2kπ+5π6 ，k∈Z，所以12k+1≤x≤12k+5，k∈Z.

又0≤x≤24，所以1≤x≤5或13≤x≤17.

因此货船可以在1点左右进港，早晨5点左右出港.或在13点左右进港，下午17点左右出港，每次在港口呆4小时左右.

（数学模型的重要之处在于模型应用，因此，得到模型结论后教师接着设问，让学生利用已得到的模型结论解决实际问题，使学生经历发现问题解决问题的过程，体会数学建模的意义，初步接触运用新知.）

师：很好，在该题的求解过程中我们建立的函数模型为y=2.5sinπ6x+5，如果我们将这一函数模型更为一般化，即为y=Asin（ωx+φ）+h，这也是我们接下来要研究的重要内容，下面我们进入正弦函数的学习.

（通过情景引入，引导学生建立模型思想，从已学三角函数角度思考问题，利用数形结合、函数与方程思想，建立模型解决实际问题，增强学生数学应用能力，同时学生已对正弦函数有了解，自然引入新课.）

2 基于专题综合应用的数学建模教学

中学数学是一个脉络清晰，有机联系的整体，数学问题更加注重知识的综合考查，思维的灵活性较强.专题综合复习教学环节，应注重提炼和总结解题模型，让学生多方位认识和运用数学模型，使各个模块横纵联系，提升学生的数学应用能力.

示例2 函数模型的综合应用

师：到目前为止，我们已经初步接触了常函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数，对于这些基本初等函数我们主要研究了函数的哪些性质呢？

生1：对于基本初等函数我们研究了函数的图象特点、单调性、奇偶性、定义域、值域、导数以及最值和极值.

师：很好，知识之间是相互贯通的，下面，我们看一下如何利用函数的有关知识来解决实际问题：某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不能超过利润的25%.现有三个奖励模型：y=0.25x，y=log7x+1，y=1.002x，分析与推导哪个函数模型能符合该公司的要求？（注：1.002500=2.7）

对于这一问题，同学们可以尝试建立数学模型并求解吗？

（复习引导，引领学生回顾基本初等函数及其有关的研究内容，使学生对函数模块的内容有一个清晰的认识，为解决问题做知识铺垫，在此基础上设置问题情境，引起学生的求知欲.）

师：题目中的文字描述很复杂，大家能否转化为简洁的数学语言呢？这一步是非常关键的，同学们要理解题意，挖掘题干中的限定条件，发现题目中隐含的数量关系，将其一一对应.

生2：根据题意：（1）奖金总数不超过5万元，即当x∈[10，1000]时，函数的最大值不超过5;（2）奖金不超过利润的25%，即当x∈[10，1000]时，y≤x·25%;（3）奖金随销售利润增加而增加，即当x∈[10，1000]时，函数为增函数.当依据函数模型进行奖励时满足这三个条件，即为符合公司要求的模型.

师：很好，我们通过分析思考，将实际问题抽象成数学问题，这一过程是数学建模中的模型分析环节，也是整个数学建模的基础和关键环节.对于本题，公司的利润目标为1000万元，因此，我们模型假设只需在x∈[10，1000]上，检验三个函数模型是否符合条件即可.下面我们该进行哪一环节？又该如何做呢？

（题干内容复杂繁琐，数学关系不明显，模型分析阶段启发学生挖掘隐含的数学关系，转化为简洁明了的数学语言，降低解题的难度，引导学生循序渐进的按照数学建模的规范步骤进行思考.）

生3：下面应该建立模型了.问题中涉及的函数分别是一次函数、对数函数、指数函数，函数图象并不复杂，我们可以在同一坐标系中先作出三个函数的图象，通过观察，得到初步的结论，再提供具体的计算，得到确定的结果.

师：画出图象后，大家小组讨论交流，结合图象，进行数学建模中最重要的环节——模型求解.

（建立模型过程中，在同一坐标系下画出一次函数、对数函数、指数函数，使求解过程更加直观清晰，既复习了不同函数的图象性质特点又培养了学生直观想象素养和动手能力.）

生4：观察图象，结合一次函数和指数函数的性质可以得到f1（x）=0.25x，f3（x）=1.002x在[10，1000]内单调递增.f1（1000）=250，f3（1000）=1.0021000 =（1+0.002）5002≈2.722=7.29.二者都大于5万元，因而第一、三两个函数模型均不符合公司要求.

生5：对于函数f2（x）=log7x+1，在[10，1000]上也是单调递增的，f2（1000）=log71000+1     师：我们一起来看一下，y≤x·25%代入函数，即log7x+1≤0.25x，且x∈[10，1000]，是不是变为一道函数在区间恒成立问题了？想一想区间的恒成立问题解题思路是什么？

（对于第一、三模型学生很容易对其进行否定，但是第二个模型如何验证条件二对于学生来说有一定的难度，需要教师启发学生将问题转化为区间恒成立问题.对于函数专题，恒成立问题是重要甚至必考题型，引导学生一起总结恒成立问题的解题思路.）

生6：构造新函数.将log7x+1≤0.25x移项，为log7x+1-0.25x≤0，构造新函数：

令f（x）=log7x-14x+1，只要验证f（x）≤0对x∈[10，1000]是否恒成立即可，也即f（x）最大值小于或等于0. f′（x）=1x·1ln7-14≤110×1ln7-14<110-14<0 ，函数为减函数，所以fmax（x）=f10=log710-32 ，但是如何比较log710与32的大小呢？

师：任意一个对数，我们都可以知道它与1的大小关系，大家思考一下能不能将上面的式子变形，只需比较对数与1的大小呢？

（对数的大小比较也是考点，对于学生而言，以往接触的都是较为简单的大小比较，复杂对数与常数的比较是学生没有接触过的，需要教师引导学生根据对数的特点进行转化，对学生数学运算素养要求较高，同时也复习回顾了对数运算的内容.）

生7：可以这样变形：fmax（x）=f（10）=log710-32=3223·log710-1，将log710化为同底对数的比，即：fmax（x）=f10=log710-32=3223·log710-1=322·ln103·ln7-1=32ln100ln343-1=32log343100-1<0.

这就验证了当x∈[10，1000]时，y≤x·25%恒成立，因而符合第二个要求.

综上所述，只有函数模型y=log7x+1符合公司要求.

师：很好，大家再回顾一下这道题，体会其中的数形结合思想、求导问题、恒成立问题做题思路以及复杂对数的比较大小的方法.

（本题以实际问题为载体，考查函数模型的构建以及学生分析解决问题的能力，既解决实际问题，又全面复习了三个不同函数性质的应用，体会直线上升、指数爆炸、对数增长的不同，体现了数学的应用价值.简单函数问题背后却蕴藏着多种数学思想方法以及求导、恒成立等复杂问题，对于提高学生数学素养意义重大.）

3 基于变式拓展的数学建模教学

高中数学问题千变万化，变式拓展题型对学生的转换能力要求较高，教师应适当引导，合理启发，对解答题思路进行分析，逐步系统地构建重点题型的解题模型.通过构建问题模型拓展学生的思维空间，深刻领悟蕴涵的思想与方法，多方位认识和运用数学模型.

示例3 等比数列变式拓展

师：前面我们学习了等比数列的通项公式以及前n项和公式，我们知道等比数列与日常生活是息息相关的，下面一起来看一下如何用等比数列解决实际问题.

师：按揭贷款是近年中央推行的积极财政政策，众所周知，按揭贷款中都实行按月等额还本付息，那么若干月后，还应归还银行多少本金？这些是人们需要关注却又很难精确知晓的，下面从我们已学的数列角度，尝试建立数学模型，寻求解决办法.大家小组讨论一下这道题应该如何求解呢？（设贷款数额为a0元，贷款月利率为p（p>0），每月等额还本付息a元，第n月还款后的本金为an）

（在学习完等比数列的基础上，以生活情境为背景引入新模型——一阶线性非齐次递归数列.该数列是等比数列的变式拓展，也是易考的题型，对学生而言又有一定的难度.这里以学生感兴趣的形式引入，降低了新知识的学习难度.）

生1：根据假设，第一个月还款后的本金为：a1=a0（1+p）-a ，第二个月还款后的本金为：a2=a1（1+p）-a ，第三个月还款后的本金为：a3=a2（1+p）-a ，以此类推，可得到a1，a2，a3，…an，…的递推公式：

经检验，所有等式成立.

生5：由此可得，an-ap是一个以a0-ap为首项，（1+p）为公比的等比数列，类比等比数列通项公式，可得到an-ap=a0-ap（1+p）n，an=a0-ap（1+p）n +ap （n≥1）.

（模型求解过程中，需要学生对递推公式进行转化，以方程的视角，设未知数等價转化求解，得到新的等比数列，最后从等比数列通项公式化归到原数列的通项公式，该环节更有利于提高学生数学运算能力，有利于多种数学思想方法的运用.）

师：很好，通过本题可得到按揭贷款问题的模型以及一般结论：第n月还款后的本金an为：an=a0-ap（1+p）n +ap，日常生活中一切有关按揭贷款问题，均可根据此计算.

（本题模型实质为等差数列与等比数列的结合，高中并没有给出此类数列的通项公式，但是在做题时尤其是拓展题，经常会有此类型题.对于该模型，采用化归思想将其巧妙地转化为一阶线性其次递归数列.通过本题的模型分析、模型建立、模型求解等环节，能够开拓学生思维，提高学生数学素养以及分析问题解决问题的能力，体会数学在实际生活中的作用.）

参考文献

[1] 傅海伦.数学新课程教学论[M].济南：山东教育出版社，2014.

[2] 邱光云.加强高中数学建模教学提高数学应用能力[J].数学学习与研究，2011（15）.

[2] 李倩，郭天印.高中数学教学培养学生数学建模素养浅析[J].课程教育研究，2018（24）.

[2] 冯永明，张启凡.对“中学数学建模教学”的探讨[J].数学教育学报，2000，9（02）.

作者简介 傅海伦（1970-），男，山东曹县人，山东师范大学数学与统计学院教授、博士生导师，主要从事数学课程与教学研究.

曾冠予（1996—），女，山东济南人，山东师范大学附属中学教师，主要从事高中数学教学研究.