例析极限、特殊化思想在解题中的运用

高群安

(湖北省襄州一中 441104)

一、数学思想概要

特殊化思想 就是用特殊值、特殊点、特殊函数、特殊数列、特殊方程、特殊图形……去探求未知的题设结论，或验证已给题设结论的正误.错误的结论可当即否定，正确的结论则需要进一步的证明.

极限思想 就是用极限的概念、理论去分析问题和解决问题的一种重要的数学思想，它在探究、解决有关数学问题中有着非常广泛的应用.

极限思想、特殊化思想在历年的高考中占有重要的地位. 运用极限、特殊化思想解决有关数学问题，可以迅速排除错误结论，缩小目标范围，优化解题过程，提高解题效率.

二、数学思想应用举例

特殊化思想是解决选择题的一种常用的方法.然而，对一些解答题，若先用特值法探求结论，就能使我们的求解过程有明确的努力方向，提高解题的效率.极限思想是运动与静止相互转化的观点在数学中的体现，如三角形可以看作是梯形上底趋向于零的极限情况；点可以看作是圆的半径趋向于零的极限情况.

1.求值问题

例1抛物线y=-x2+bx+c的顶点坐标为(m,1),与x轴的两交点为A、B，求|AB|的值.

分析取m=0，则抛物线方程为y=-x2+1，易得|AB|=2.

解法一把抛物线按向量(-m,0)平移后，顶点坐标为(m,1),此时抛物线方程为y=-x2+1,|AB|的长度不变，易得|AB|=2.

解法二∵抛物线y=-x2+bx+c的顶点坐标为(m,1)，所以抛物线方程可化为y=-(x-m)2+1,令y=-(x-m)2+1=0得x1=m-1,x2=m+1,|AB|=|x2-x1|=2.

由此猜想：原式的值是一个与x无关的常数2.题中根式过多，能否通过换元转化，简化求解过程呢？

图1

A.1 B.2 C.3 D.4

解法一当点M与B重合时，N与C重合，此时m=n=1,m+n=2.故选B.

例4 如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠BCD=90°,四边形ABCD的面积为8，则AC的长为____.

思路一(利用极限思想探求答案)当C→D时，AC→AD,四边形ABCD→等腰直角三角形ABD.

图2 图3

思路二(利用特殊图形探求答案)取满足条件的正方形ABCD，则由AB2=8⟹AC2=2AB2=16⟹AC=4,由此猜想AC=4.

点评解答的关键是作辅助线由面积关系导出a(a+b)=8，再由勾股定理、整体代换求出AC=4.

不作辅助线能否求出AC呢？

2.参数范围问题

例5(2015课标1·理16)在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°,BC=2,则AB的取值范围是____.

分析如图4，四边形ABCD中，BC=2,角A,B,C,D的大小确定，当D→A时，x递增；D→C时，x递减.

图4 图5

点评本题是运用正弦定理解三角形，求取值范围问题.本解答抓住D点的动态变化，运用数形结合的思想、极限的思想，巧妙地解决了问题.

3.求单调区间

例6 已知偶函数f(x),当x∈(-∞,0]时单调递减，求f(2x-x2)的单调递增区间.

分析若取满足条件的特殊函数f(x)=|x|,则f(2x-x2)=|x2-2x|.

画出图象，由图可知，递增区间为[0,1]和[2，+∞).

4.比较大小

例7 △ABC中，sin2A+sinB+sin2C>2，试判断△ABC的形状.

分析由对称性不妨设A≤B≤C，试判断△ABC的形状实际上就是比较角C与直角的大小关系，取A=B=C=60°，则左边=3×3/4=9/4>右边，满足条件；取A=B=45°，C=90°，则左边=2，不满足条件；取A=B=30°,C=120°,则左边=5/4<2，不满足条件.由此猜想△ABC为锐角三角形，因此问题转化为证明最大角C<90°.

5.否定错误选项

A.-5 B.3 C.-5或3 D.5或-3

图6

解析画出不等式组对应的平面区域，如图所示.当a≤0时，在直线x+y=a上，x→-∞，y→+∞时，z=x+ay→-∞,z=x+ay无最小值，否定A、C、D.故选B.

点评本解答的关键是利用极限思想，结合图形直观.当a≤0时，目标函数z=x+ay没有最小值，否定选项ACD.

6.不等式问题

A.(4,+∞) B.(-∞,-12)∪(4,+∞)

C.(-12,4) D.(-∞,-12)

如果是求解题，该怎么办呢？

点评本题主要考查依据题设条件，构造函数模型，解决不等问题的能力.

7.利用极限思想回避讨论

点评按常规解答本题应分直线l的斜率存在与不存在两种情况讨论，本解答巧妙地应用了极限的思想：“k→∞时d→1”得斜率不存在的情况满足条件，回避了分类讨论，简化了解答过程.

8.利用极限思想优化解题过程

例11 (2012四川·文12) 已知设函数f(x)=(x-3)3+x-1,{an}是公差不为0的等差数列，f(a1)+f(a2)+…+f(a7)=14,则a1+a2+…+a7=( ).

A.0 B.7 C.14 D.21

分析明知山有虎，偏向虎山行.若取{an}为常数列，则易得an=3，答案选D，但题设中{an}不是常数列呀！能否利用极限的思想和连续函数的性质快速解答呢?

解f(x)是R上的连续函数，公差d→0时，an→a4,14=f(a1)+f(a2)+…+f(a7)→7f(a4)⟹f(a4)→2⟹(a4-3)3+a4-1=(a4-3)[(a4-3)2+1]+2→2⟹a4→3,∴a1+a2+…+a7→7a4→21.观察答案，选D.

9.利用极限思想解决定值问题

若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

可见，极限特殊化思想，具有排除否定功能.在求解题中，具有探求导向作用，它给我们观察、猜想、发现提供了有力的依据，使我们的求解过程有明确的努力方向，从而增强目标意识，提高我们的思维水平和解题效率.