回归基础 寻找本质

张雪敏

摘 要：本文回归到二元一次不等式的几何意义这个基础知识来解决一类线性规划问题。

关键词：二元一次不等式;线性规划;最大值;最小值

在数学的学习过程中，学生应把握数学知识的基础和本质。“抓住本质，突出主线，让学生的数学思维自然地流淌。”[1]以此来培养和发展学生的思维。这与数学核心素养中提出的培养“数学抽象”、“逻辑推理”也不谋而合。

一、回归基础，找寻二元一次不等式的几何意义

在平面直角坐标系中，直线ax+by+c=0把整个平面直角坐标系分成了三部分。第一部分是直线上的点（x1，y1）满足ax1+by1+c=0，而直线ax+by+c=0外的点以直线ax+by+c=0为界分成另外两部分。其中，一侧上任意一点（x2，y2）满足不等式ax2+by2+c>0，另一侧上任意一点（x3，y3）满足不等式ax3+by3+c<0。这也是不等式的几何意义。由此，我们得出结论：1.在直线ax+by+c=0同侧的两点（x4，y4）与（x5，y5）满足不等式。2.在直线ax+by+c=0异侧的两点（x4，y4）与（x5，y5）满足不等式。这个知识点看似简单，却可以解决一类线性规划问题。

二、找准切入点，化平面几何问题为线性规划问题

线性规划是不等式与解析几何的结合，是数与形的结合。能够用代数的方法来解决解析几何问题是线性规划的特征之一。

例1.已知點（1-，2）与（2，-3）在直线2x+3y+c=0的两侧，求c的取值范围。

分析：由前分析所得：

，即得：。

例2.已知直线l过点P（-1，2）且与以为端点的线段相交，求直线l的斜率k的取值范围。

分析：设直线l为：y-2=k（x+1）即kx-y+k+2=0，则此题转化为例1类似的点A、B在直线l的两侧，即：得或。

总结：在解析几何中涉及到点与线的位置关系的同侧异侧问题，可以运用简单线性规划中不等式的几何意义来进行转化。

三、合理转化，找到问题本质

在高考题中，更多的是综合性的题目，这就要求我们回归基础，找到本质，实现问题的转化与化归。

点与直线位置关系的同侧异侧问题，还会以其他形式出现。如直线l穿过可行域或不穿过可行域问题，同样可以运用相同的方法来解决。如例3.

例3.（2018宁波高三第一学期期末试卷）关于x、y的不等式组表示的平面区域内存在点P（x0，y0）满足x0-2y0=3，则实数m的取值范围是（ ）

A.（-∞，-3） B.（-1，1） C.（-∞，-1） D.（-1，+∞）

分析：

很多数学问题看似平淡无奇，但若能挖掘其内涵，适当变化，常常会有意想不到的收获。

由以上分析，可得总结：

1.直线l不穿过可行域可行域顶点在直线l同侧点代入直线方程左侧后所得不等号方向一致。

2.直线l穿过可行域可行域中存在其中两个端点在直线l异侧两点代入直线方程左侧后所得不等号方向相反。

四、运用不等式几何意义去目标函数绝对值

不等式的几何意义有时候还能起到去绝对值的作用，如例4.

例4：（2015浙江卷理第14题）若实数x、y满足，则的最小值为

分析：此题画可行域非常简单，所以难点在于如何去掉目标函数中的绝对值而变为常规的线性规划问题了。在这里不等式的几何意义再一次大显身手。

如图，直线6-x-3y=0在圆x2+y2=1上方，可行域中的点（x，y）与（0，0）同侧，把（0，0）代入线6-x-3y=6>0，则可得可行域中的点满足6-x-3y>0，则可得实现了去掉绝对值的目的。由于（0，0）到直线2x+y-2=0的距离，所以直线2x+y-2=0把圆面x2+y2≤1这个可行域分成了两部分。由得。当可行域在直线2x+y-2=0的下方的圆面时，点（x，y）与（0，0）同侧，2x+y-2的符号与（0，0）代入的同号，即则可得，得所求的目标函数如图，显然在出取到使得相似的，当可行域在直线2x+y-2=0的上方的圆面时，点（x，y）与（0，0）异侧，即2x+y-2>0，可得，得所求的目标函数显然在出取到使得，综上。

数学教师的任务在返璞归真，把数学的形式化逻辑链条恢复成当初数学家发明创造时的火热思考。就像张奠宙教授说：要把数学从”冰冷的美丽”升华到“火热的思考”。【2】

参考文献

[1]《寻找数学的内在力量》李昌官.P083宁波出版社

[2]《数学教育随想集》张奠宙.P47华东师范大学出版社