函数思想在高中数学解题中的巧妙应用

摘 要：在数学教学中，思想与方法是构成数学基础知识的重要组成部分.新课程改革背景下，要求教师通过数学思想和方法的掌握领悟数学真谛，体会数学学习价值.鉴于此种考虑，本文尝试以函数思想为例，分析在高中数学解题中的妙用，以提高解题效率，培养数学思维.

关键词：函数思想;高中数学;解题;应用

中图分类号：G632      文献标识码：A      文章编号：1008-0333（2020）10-0011-02

收稿日期：2020-01-05

作者简介：范选锋（1979.12-），男，甘肃省正宁人，本科，中学一级教师，从事高中数学教学研究.

“函数”是高中数学中最基本、最重要的概念.随着新高考改革，函数的重要性只增不减，在集合、数列、方程等模块解题中均有体现.因此，在高中数学解题教学中，教师要重视对学生函数思想的培养，发散学生解题思维.

一、函数思想概述

函数思想依托函数概念而发展，了解函数思想之前，首先要对函数的相关概念和性质有所了解，包括周期函数、增（减）函数、奇（偶）函数、一次函数、二次函数、指数函数以及对数函数等.函数思想是一种最基本的数学思想，应用比较广泛，通过运用运动和变化的观点，对问题中的数量关系进行分析与研究，结合函数有关知识，解决问题，把握函数思想.函数思想在解题中应用一般遵循观点提出——抽象数量——建立函数关系.由此可见，熟练掌握函数思想不可忽视.在高中数学教学中，许多知识都体现了函数思想，像方程、不等式、算法、线性规划.方程上主要体现在求f（x）=0的根，实际上对应着求函数y=f（x） 的零点，即该函数图象与x轴交点的横坐标.不等式求解上主要解答一元二次不等式ax2+bx+c>0（a≠0），相当于求函数y=ax2+bx+c图象在x轴上方时x的取值范围;线性规划问题求解中主要是在约束条件下求目标函数的最值问题.总之，函数思想在高中数学教学中无处不在，在解题教学中教师要重视学生函数思想的培养.

二、函数思想在高中数学解题中的应用

1.妙用导数解决一些实际应用问题

导数是数学学习重要内容，也是高考的重要考点之一，主要包括导数概念、几何意义、各类函数求导方法、常用导数运算公式等.近几年高考主要考查如何利用导数求解函数单调区间和最值.导数摆脱了对二次函数的依赖，成为考查函数性质及数学思想方法、能力等重要載体，在解题中具有很强的工具性和方法性作用，承担着命题创新的要求和任务.导数在解题中的应用一般分为三个层次，层次一：从导数几何意义和求导公式与法则入手;层次二：从导函数性质入手，像最值、极值、单调性等;层次三：以导数为工具，解决综合问题，包括不等式、实际应用问题等.

例1 若a、b是正数，且满足ab=a+b+3，求ab的取值范围.解答过程中可以将ab取值范围看作函数的值域.∵ab=a+b+3，∴a≠1，b=a+3a-1.∵b>0，∴a+3a-1>0，求解出a >1或a <-3.∵a>0，最后可得a>1，a -1>0，ab=a（a+3a-1）=（a -1）+4a-1+5≥9，如果等号成立，此时a=3.当a>3时，该式是关于a的单调增函数，由此可得ab的取值范围为＼[9，+∞）.通过以上解答过程可以发现，当问题中出现两数积与这两数和时，是构建一元二次方程的明显信息，此时可以将方程转化为函数，利用函数知识进行解决，用等量关系减少变量，直到剩最后一个变量表达式，提高问题解决效率.

2.巧用函数中“三个二次”题型解题

《高中数学新课程标准》在代数知识结构方面淡化了代数运算与变形技巧，体现了以函数思想为主线的代数体系，更加注重函数思想方法的渗透.“三个二次”主要指二次函数、二次方程与二次不等式，这三者之间能够相互转化，有着紧密的联系，是解决函数零点分布、函数不等式等问题的重要工具.结合近几年高考考查倾向来看，重要集中在二次函数最值、图象问题、二次方程的根的分布问题、与不等式恒成立相关的二次函数的最值问题的考查，特别是解析几何的最值问题.所以，在高中数学解题教学中要重视此部分知识的渗透，培养学生函数思想.

例2 某班同学积极参加植树节活动，计划在一段直线公路一侧植树，一共20名同学，每人植一棵，各棵树间隔10m.树苗全都集中放在某一定点位置，为了使每位学生从各自树坑出发前来领取树苗所走路程和最小，树苗应该放在哪个树坑位置，这个最小和为多少？解答过程中，首先应该想到二次函数的转化，设放到第a个树坑，每个树坑到第a个树坑的距离和为S，此时可以列式为：S=（a-1）×10+（a-2）×10+…+（a-a）×10+＼[（a+1）-a＼]×10+…+（20-a）×10，化简为10（a2-21a+210），当a=10或11时，S的取值最小，具体为1000，往返路程为2000.在此类题型解答中，二次函数形式的构造起到了关键性作用，通过建立函数解析式，研究函数性质解决实际问题.

3.函数与方程思想方法解题突破

函数与方程是离不开的，两者不仅知识涉及广泛，知识点交汇多，而且在解题过程中有很具体的体现，像创新题型的变式转化、解答题的综合应用等，都是大型题目的解题法宝.在新课标改革下，高中数学教学也增加了函数与方程教学内容，可见其重要性.在问题解答中主要考查含参数方程讨论、构造方程求解、函数与方程之间的转化等，在教学中教师要特别注重此部分知识讲解.

例3 直线（1+a）x+y+1=0与圆x2+y2-2x=0相切，则a的值为多少？此类题目在解答过程中可以直接将直线方程代入圆方程中，消去y，得关于x的一元二次方程，结合题意位置关系相切，利用判别式Δ=0求出结果a.该解题过程体现了方程思想的运用，也可以转化为求函数与x轴交点的个数，体现了函数与方程思想.

综上所述，函数思想作为数学思想的重要组成部分，贯穿整个高中知识学习.在高中数学解题教学中，教师要重视函数思想的渗透，以此为解题工具，拓展学生思路，提高解题效率.使学生通过问题分析、解答掌握函数知识本质，了解数学学习魅力，培养数学学科核心素养.

参考文献：

＼[1＼]王海青.巧用函数思想妙解数学问题＼[J＼].名师在线，2018（36）：28-29.

＼[2＼]刘海东.巧妙运用函数思想，打造高中数学解题中的万能钥匙＼[J＼].中学数学研究（华南师范大学版），2016（23）：44-45.

＼[3＼]韩云霞，马旭.浅谈函数思想在高中数学解题中的应用＼[J＼].宁夏师范学院学报，2016，37（03）：92-95.

[责任编辑：李 璟]