离心率问题探究

摘 要：离心率问题是高考中考查的一个重点内容，解答离心率问题的过程对学生形成数学核心素养有积极的作用.但学生对这一部分问题往往感觉无从下手，理不出头绪.在大量高考题、模拟题、习题的基础上，笔者把离心率问题涉及的知识点及解决策略进行了分类，抽象出七大模型.学生心中有了模型，解决这类问题也就变得有章可循.

关键词：椭圆离心率;双曲线离心率;关于a，b，c的方程

中图分类号：G632      文献标识码：A      文章编号：1008-0333（2020）10-0012-02

收稿日期：2020-01-05

作者简介：李化周（1981.2-），男，山东省沂水人，本科，中学一级教师，从事高中数学教学研究.

新的课程改革强调将提升学生核心素养作为根本目标.圆锥曲线这部分，包含了直线、圆、椭圆、双曲线与抛物线.通过寻找图形与图形的关系，从图形中抽象出数量关系，总结规律，体验直观想象的过程.或将生活中的数学问题转化为解析几何问题，借助图形使问题得到解决.在这个过程中，可以很好地训练学生的数学抽象与直观想象能力.此外，椭圆、双曲线的离心率是高考的核心考点，出现的频率非常高.离心率问题以中档题为主，它可以与很多知识产生联系，有很多载体，如三角函数、数列、方程等都可以与离心率结合.离心率问题有时灵活性较强，不容易入题;有时运算量大，学生不容易得出正确结论;有时多个知识点相互交融，学生理不出头绪.通过对离心率问题的深入研究，笔者归纳整理了离心率的基本知识，常见的类型及一般的解决策略.让离心率问题有章可循.

一、直接法求离心率

例1 椭圆x29+y24=1的离心率是（  ）.

A.133  B.53  C.23  D.59

分析 由方程可得，a=3，c2=a2-b2=9-4=5，所以c=5，所以，离心率e=ca=53，选B.  二、利用椭圆、双曲线定义求离心率

例2 已知F1、F2是双曲线E：x2a2-y24=1（a>0，b>0）的左、右焦点，点P在双曲线E上，PF1与x轴垂直，sin∠PF2F1=13，则双曲线E的离心率為（  ）.

A.2  B.32  C.3  D.2

分析 Rt△PF1F2中，因为sin∠PF2F1=13，设|PF1|=m，则|PF2|=3m，2c=|F1F2|=22m.根据双曲线定义得，2a=2m.故离心率e=2c2a=22m2m=2，选A.

三、利用比例关系求离心率

例3 若双曲线x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，线段F1F2被抛物线y2=2bx的焦点F分别为5∶3两段，则此双曲线的离心率为

.

分析 由题意得F（b2，0），c+b2c-b2=53，故c=2b，所以a=3b，故e=ca=2b3b=233.

四、利用三角知识求离心率

例4 已知椭圆x2a2-y24=1（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1（-c，0），F2（c，0），若椭圆上存在点P使asin∠PF1F2=csin∠PF2F1，则该椭圆的离心率的取值范围为（  ）.

A.（0，2-1） B.（22，1） C.（0，22） D.（2-1，1）

分析 根据正弦定理，|PF2|sin∠PF1F2=|PF1|sin∠PF2F1，故|PF1||PF2|=ca，所以，|PF1|=ca|PF2|.根据椭圆定义|PF1|+|PF2|=2a，所以，|PF2|=2a2a+c.因为点P不在长轴上，故a-c<|PF2|0.两边同除以a2得，e2+2e-1>0，解得e<-1-2或e>2-1.因为0       五、利用图形几何性质求离心率

例5 过双曲线x2a2-y2b2=1（b>a>0）的左焦点F（-c，0）作圆x2+y2=a2的切线，切点为E，延长PE交抛物线y2=4cx于点P，O为坐标原点，若OE=12（OF+OP），则双曲线的离心率为（  ）.

A.3+32  B.1+32  C.52  D.1+52

分析 抛物线的焦点坐标与双曲线右焦点重合为F2（c，0）.因为OE=12（OF+OP），所以E是FP的中点.因为O是FF2中点，故OE∥PF2，PF2=2OE=2a.又E是切点，所以OE⊥FP，故PF2⊥FP，PE=OF2-OE2=c2-a2=b，故PF=2b.因为点P在抛物线上，故MP=2a.Rt△PFM中，MF=PF2-MP2=2b2-a2.Rt△PFF2中，S△PFF2=12×2c×2b2-a2=12×2a×2b，所以c2（b2-a2）=a2b2，即c2（c2-2a2）=a2（c2-a2）.

整理得c4-3a2c2+a4=0，即e4-3e2+1=0，

解得e2=3+52，所以e=1+52，选D.

在离心率问题的解决过程中，学生经历着图形、向量、三角函数、直线等与离心率之间的联系与融合，由形到数，由数到形，对学生数学素养培育有积极有效的作用.离心率问题虽涉及的情境各不相同，出现的形式异彩纷呈，感觉乱花渐欲迷人眼，其实是花不醉人人自醉.只要我们将遇到的问题模型化，归纳总结其特征及其解决的思路，针对具体问题擦亮眼睛，静下心来，将题中的条件想办法转化为圆锥曲线中a，b，c的关系，离心率问题即可迎刃而解.

参考文献：

[1]吴世朗.全国卷中离心率求值问题的解题策略＼[J＼].高考，2019（23）：41.

[2]曹丽.“一题多变性”变式在高三数学复习中的应用——以“求圆锥曲线的离心率”为例＼[J＼].中学数学，2019（11）：31-32.

[3]玉云化.圆锥曲线离心率范围再探＼[J＼].中学数学杂志，2010（03）：61-62.

[责任编辑：李 璟]