“迭式放缩”与二次型递推数列不等式

摘 要：本文主要研究二次型递推数列不等式的放縮方法和技巧，探求高考数学试卷中数列压轴题的解题规律.

关键词：递推数列不等式;迭加放缩;迭乘放缩;迭式放缩;范围的估计

中图分类号：G632      文献标识码：A      文章编号：1008-0333（2020）10-0009-02

收稿日期：2020-01-05

作者简介：黎平（1975.10-），男，浙江省桐庐人，本科，中学一级教师，从事初等数学和数学教育学.

递推数列和不等式相结合的问题是高考数学中的热点和难点题型，2015-2017浙江高考数学试卷的压轴解答题都是这类问题.解决这类问题的关键是巧妙地进行不等式的放缩.实际上，递推数列不等式的放缩有自身的特定方法和技巧，这样的方法技巧与迭加公式和迭乘公式有密切的关系.

一、迭加公式和迭乘公式与递推数列不等式

迭加公式 an-a1=an-an-1+an-1-an-2+…+a2-a1，

迭乘公式 ana1=anan-1·an-1an-2·…·a2a1.

递推数列中由递推关系出发进行适当的变形可得

迭加型：an-an-1≤f（n），

迭乘型：anan-1≤g（n）.

这两类最基本的递推关系，对于迭加型递推关系可结合迭加公式进行放缩

an-a1=∑nk=2（ak-ak-1）≤∑nk=2f（k），

这种放缩方法称为迭加放缩.

对于迭乘型递推关系可结合迭乘公式进行放缩

ana1=anan-1·an-1an-2·…·a2a1≤g（n）·g（n-1）·…·g（2），

这种放缩方法称为迭乘放缩.

迭加放缩和迭乘放缩是递推数列不等式中两种最重要的放缩方法，这两种放缩方法可统称”迭式放缩”.

二、二次型递推数列不等式与迭式放缩

在递推数列中，二次型递推数列an+1=pan2+qan+r有重要的地位，对于二次型递推数列不等式，我们应运用恒等变形和构造新数列的方法，并结合范围的估计使之转化为迭加型an-an-1≤f（n）或迭乘型anan-1≤g（n），从而实现迭加放缩或迭乘放缩.

1.二次型递推数列与迭加放缩

其中对式子pan2+ranan+1要进行范围的估计， 从而得到1an-qan+1≤t（或≥t），进一步可化为qnan-qn+1an+1≤t·qn（或≥t·qn），此为迭加放缩.也可将1an-qan+1≤t（或≥t）化为1an-k≤q（1an+1-k），此为迭乘放缩.

例1 （ 2015浙江高考22题第二小题）已知数列an满足a1=12，且an+1=an-an2n∈N*，设数列 an2 的前n项和为Sn，证明12（n+2）≤Snn≤12（n+1）n∈N* .

分析 递推公式an+1=an-an2可化为1an+1-1an=anan+1，对其中右式要进行范围的估计，而anan+1=anan-an2=11-an，所以又要先估计an的范围.

2.二次型递推数列与迭乘放缩

利用不动点，an+1=pa2n+qan+r型递推数列也可化为

an+1=pa2n+qan+r

an+1+m=p（an+m）（ak+k）

an+1+man+m=ak+k.

其中对式子an+k要进行范围的估计，此为迭乘放缩.

例2 已知数列an满足a1=1，an+1=a2n+5an+4，求证∑nk=11ak+3>13-19n-1+2.

分析 递推公式an+1=a2n+5an+4可化为an+1+2=a2n+5an+6=（an+2）（an+3），所以1an+3=1an+2-1an+1+2，不等式左边∑nk=11ak+3即可用裂项相消法求和.而由an+1+2=（an+2）（an+3）又可得an+1+2an+2=an+3，所以可结合范围的估计将之化为迭乘型，再用迭乘放缩证明不等式.

证明 由an+1=a2n+5an+4可得an+1+2=a2n+5an+6=（an+2）（an+3），所以1an+1+2=1（an+2）（an+3）=1an+2-1an+3，即1an+3=1an+2-1an+1+2.

所以

从以上几例我们可以发现迭式放缩在证明二次型递推数列不等式时起到关键作用，而要顺利地实现迭式放缩，必须对二次递推公式进行灵活的恒等变形和恰当的范围估计.另外1an-qan+1≤t（或≥t）这一类递推关系在递推数列不等式问题中经常出现，它与迭加放缩和迭乘放缩都有关联，在证明递推数列不等式时，我们一个主要的考虑方向就是将条件化为1an-qan+1≤t（或≥t），再进行迭加放缩或迭乘放缩.

参考文献：

[1]冯志刚.数列与数学归纳法（第二版）[M].上海：华东师范大学出版社，2012：37-47.

[2]单墫.数学竞赛研究教程（上）[M].上海：上海教育出版社，2019：202-209.

[责任编辑：李 璟]