审题一针见血 求解立竿见影

摘 要：审题，顾名思义就是对题目的含义进行分析、研究，从而正确地把握问题，理解题意，明确题目要求，确定答题方式等.

关键词：捕捉;关联;转化

中图分类号：G632      文献标识码：A      文章编号：1008-0333（2020）10-0002-02

收稿日期：2020-01-05

作者简介：王苏文（1975.7-），男，浙江省诸暨人，大学，中学高级教师，从事数学教学研究.

审题是合理、正确解题的基础，是获取解题信息，最终达到圆满解题的第一步.审题过程中善于捕捉，善于发现，才能更好地解决问题.平时捕风捉影也不见得是件坏事，只要捕捉对象准确，无疑是解决问题的一条良策.

一、捕捉数字

在数学解题中，数字对解题起着决定性的作用，因此掌握数字间的关联是解决问题的金钥匙.

例1 求值：sin7°+cos15°sin8°cos7°-sin15°sin8°.

分析 式中三个数值存在关系如下：15°=7°+8°，7°=15°-8°等，观察所求式子的关系，可将7°用15°-8°来表示更为合理，继而用15°=45°-30°转化为两个特殊角进行求值，那么所求问题就迎刃而解了.

例2 已知在平面直角坐标系中，A（-2，0），B（1，3），O为原点，设OM=αOA+βOB，且α+β=1，α，β均为实数，若N（1，0），则MN的最小值是

.

图1分析 在平面向量基本定理中，若OP=xOA+yOB的有序实数对（x，y）满足x+y=1，则A，P，B三点共线，在相关问题的求解中还是十分有效的，在具体问题的处理中会显得格外清晰.

解 由OM=αOA+βOB，且α+β=1，则M在直线AB上运动，故MN的最小值即为点N到直线AB的距离.由lAB：x-y+2=0，则d=|1-0+2|12+12=322，故MN的最小值是322.

在大多数解题过程中，数字间的特征可以帮助我们更快、更好地解决问题，达到事半功倍的高效.

二、捕捉结构

在数学解题中，对于数学式的结构特征的准确把握，有时会对解决数学问题起到事半功倍的实效.

例3 已知sinα+2cosα=-5，求tanα.

分析 在三角函数中有一类特殊结构形式：对偶式，其特点是同类构造，简便求解.

解 构造对偶式：cosα-2sinα=t.

将两式平方相加得：5=t2+5，解得：t=0，即cosα-2sinα=0.

故tanα=sinαcosα=12.

例4 已知tanα=2，求sin3α-cosαsin3α+2cosα的值.

分析 三角函数求值中有一类特殊求值结构：齐次式，其特点为每一项次数均相同，利用切化弦求解.

解 原式=sin3α-cosα（sin2α+cos2α）sin3α+2cosα（sin2α+cos2α）.由tanα=2，则sinα=2cosα代入上式：原式=8cos3α-4cos3α-cos3α8cos3α+8cos3α+2cos3α=318=16.

在數学解题中，如若能完美把握好所求问题的数学结构特征，对于解题可谓锦上添花.

三、捕捉模型

掌握高中数学中的常见模型对于求解数学问题而言可谓无招胜有招，柳暗花明又一村.

图2例5 如图2，设O是正三棱锥P-ABC底面△ABC的中心，过O的动平面与P-ABC的三条侧棱PA，PB，PC（或其延长线）的交点分别为Q，R，S，则1|PQ|+1|PR|+1|PS|（  ）.

A.有最大值而无最小值

B.有最小值而无最大值

C.无最大值也无最小值

D.是一个与Q，R，S位置无关的常量

分析 作为动态题的关键问题是找到合理的不动因素，而本题的变化模型中不变的是Q，R，S，O四点共面，可利用空间四点共面的基本定理这一模型进行求解.

解 设|PQ|=x，|PR|=y，|PS|=z，则PA=PAxPQ，PB=PByPR，PC=PCzPS.根据条件：O为底面中心，且A，B，C，O四点共面，则PO=PA+PB+PC3.

结合上式得：PO=PA3xPQ+PB3yPR+PC3zPS.而Q，R，S，O四点共面，则PA3x+PB3y+PC3z=1.又|PA|=|PB|=|PC|且为定长，故1|PQ|+1|PR|+1|PS|=3PA为定值.

图3例6 如图3所示，某货场有两堆集装箱，一堆4个，一堆3 个.现需要全部装运，每次只能从其中一堆取最上面的一个集装箱，则在装运的过程中不同取法的种数是

.

分析 在排列组合中，有时问题的模型不能很好建立，就会一筹莫展.因此在解决排列组合问题时，利用实际问题抽象出合理的模型是解决问题的所在，而且也行之有效.

本题可采用排列组合的基本模型，即平排画7个格子在地上，每取一个集装箱一次放在格子上，只需在7个格子里随意挑4个格子安放左侧4个集装箱即为所求，故共有C47种.

在解决菲常规试题时，往往需要构建一些合理的解题模型帮助问题进行转化，最终找到问题的突破口.

四、捕捉位置

例7 如图4，正四面体ABCD的顶点C在平面α内，且直线BC与平面α所成的角为45°，顶点B在平面α内的射影为点O.当

图4顶点A与点O的距离最大时，直线CD与平面α所成角的正弦值等于

A. 6+3212   B. 22+15

C. 6+24 D. 5+2212

分析 学生对于立体几何中的动态题往往感到害怕，尤其像这种几何体的动态问题，使原本就害怕的学生往往望而却步，更何况去求解.通过对几何体的旋转不难发现试题中满足最值的位置.

取CA，CB，CD作为空间基底向量，根据题意，当且仅当A，B，C，O四点在同一平面时，顶点A与点O的距离最大.不妨设正四面体ABCD的棱长为2，则平面α的法向量即为BO，结合四边形ABOC中的内角与相关长度，图中△ABC为正三角形，△BOC是以BC为斜边的等腰直角三角形.可计算得：BO=3-36CB-33CA，故cos〈BO，CD〉=BO·CD|BO||CD|=-6+3212.设直线CD与平面α所成角为θ，则sinθ=|cos〈BO，CD〉|=6+3212.

故选（A）.

作为立体几何的动态题，往往考查学生观察、分析问题的能力，因此作为动态下的各个位置是解决问题的关键所在，只要找到正确的位置，动态问题就迎刃而解了.

参考文献：

＼[1＼]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017版）[M].北京：人民教育出版社，2018.

[责任编辑：李 璟]