巧用伸缩变换 妙解椭圆试题

罗文军 刘娟娟

摘 要：本文中给出了一些伸缩变换的性质，运用伸缩变换的性质解一些与椭圆有关的圆锥曲线试题，以期达到对中学生学习伸缩变换起到抛砖引玉的作用.有助于打破思维定势和机械的思维模式、开阔学生的学习视野、提高学生思维的灵活性、提高学生的综合思维能力和解题能力，有利于提升学生的数学核心素养.

关键词：伸缩变换;椭圆;核心素养

中图分类号：G632      文献标识码：A      文章编号：1008-0333（2020）10-0014-03

收稿日期：2020-01-05

作者简介：罗文军（1986.1-），男，甘肃省秦安人，本科，中学二级教师，从事高中数学教学研究.

刘娟娟（1988.1-），女，甘肃省秦安人，从事数学教学研究.

人教A版《选修4-4坐标系与参数方程》课本第7页中给出了平面直角坐标系中坐标伸缩变换的定义：设点P（x，y）是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：x′=λ·x（λ>0），

y′=μ·y（μ>0）的作用下，点P（x，y）對应到点P′（x′，y′），称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换.

以下，先给出一些伸缩变换的性质，再运用伸缩变换的性质解一些与椭圆有关的圆锥曲线试题，以期达到对中学生学习伸缩变换起到抛砖引玉的作用.

伸缩变换具有以下性质：

性质1 在变换φ下，点与点的相对位置关系不变，点与曲线的相对位置关系不变，直线与曲线的相交、相切、相离的相对位置关系不变.

性质2  若直线l变成直线l′，记直线l和l′的斜率分别为k，k′，则k′=μλk（当k不存在时，k′也不存在）.

性质3  若直线l上的两线段成比例，则它变成直线l′上的对应线段仍成比例.

性质4 在变化φ下，n边形A1A2A3…An（n≥3且n∈N*）变为n边形A′1A′2A′3…A′n（n≥3且n∈N*），原图形的重心G变换后对应的G′为n边形A′1A′2…A′n（n≥3且n∈N*）的重心，原图形的对称中心O变换后对应的O′为n边形A′1A′2…A′n（n≥3且n∈N*）的对称中心，变换前后图形的面积之比为Sn边形A1A2A3…AnSn边形A′1A′2A′3…A′n=1λμ.

题1 （人教A版选修4-4第28页例1）在椭圆x29+y24=1上求一点M，使点M到直线x+2y-10=0的距离最小，并求出最小距离.

解 作伸缩变换φ：x′=x3，

y′=y2.椭圆x29+y24=1变为单位圆：x′2+y′2=1，直线l方程x+2y-10=0变为直线l′：3x′+4y′-10=0，从而所求问题变为：在圆x′2+y′2=1上求一点M′到直线l′：3x′+4y′-10=0的距离最小，并求出最小距离.

由平面几何知识可知，过圆x′2+y′2=1的圆心坐标原点作直线l′的垂线段，交该圆于点M′（x′，y′），点M′到垂足的距离为最小距离.由直线l′的垂线OM′：y′=43x′（x′≥0）和x′2+y′2=1相交，解方程组x′2+y′2=1，

y′=43x′，可得M′（35，45），则对应的椭圆上所求的点M（95，85），所求最小距离为d=|95+165-10|12+22=5.

评注 课本中提供的解法是利用椭圆参数方程，再运用三角函数求解的，本解法通过伸缩变换，将问题化归为我们熟悉的求圆上的点直线的最小距离问题，令人耳目一新.

题2 （中学生标准学术能力诊断测试2018年2月测试理科20）已知椭圆M：x2a2+y2b2=1（a>b>0），右焦点为F，与直线y=377相交于P，Q两点，若椭圆M经过点（0，3）且PF⊥QF.

（1）求椭圆M的方程;

（2）O为坐标原点，A、B、C是椭圆M上不同的三点，并且O为△ABC的重心，试求△ABC的面积.

解 （1）由题设可得，b=3，则有x2a2+y23=1.设F（c，0），P（-x0，377），则Q（x0，377），PF·QF=（c+x0，-377）·（c-x0，-377）=c2-x20+97=0.又因为x20a2+973=1，所以x20=47a2，所以c2-47a2+97=（a2-3）-47a2+97=0，解得a2=4，b2=3，所以椭圆M的方程为x24+y23=1.

（2）在伸缩变换x′=x2，

y′=y3下，椭圆M：x24+y23=1变为单位圆M′：x′2+y′2=1，椭圆M的内接三角形△ABC及重心O对应圆M′的内接三角形△A′B′C′及重心.由于椭圆M的内接△ABC的重心与椭圆的中心坐标原点重合，因此圆M′的内接三角形△A′B′C′的重心与圆M′的圆心坐标原点重合，所以△A′B′C′是正三角形.设△A′B′C′的边长为m（m>0），由正弦定理可得，m=2Rsin60°=2×1×32=3，由三角形面积公式可得，S△A′B′C′=12m2sin60°=12×3×32=334，由伸缩变换性质可得，S△ABCS△A′B′C′=23，所以S△ABC=23S△A′B′C′=92.

评注 本题第（2）问运用伸缩变换法求解，主要运用了伸缩变换的性质4，将椭圆的中心与内接三角形重心重合时，求内接三角形的面积问题化归为单位圆的内接正三角形面积问题，运算量小，思路新颖.

题3 （2019年重庆市高中数学联赛预赛试题）已知△ABC为椭圆x29+y24=1的内接三角形，且AB过点P（1，0），则△ABC的面积的最大值为

.

解 经过伸缩变换x′=x3，

y′=y2得△A′B′C′内接于单位圆x′2+y′2=1，A′B′过点P′（13，0），S△ABC=6S△A′B′C′.设坐标原点O′（0，0）距A′B′的距离为t，则0≤t≤13，|A′B′|=21-t2，S△A′B′C′≤1-t2·（1+t）.当t=13时，S△A′B′C′有最大值为829，所以S△ABC的最大值为1623.

评注 运用伸缩变换法，结合伸缩变换的性质，将椭圆的内接△ABC的面积的最大值问题化归为单位圆的内接△A′B′C′的面积的最大值问题.

题4 （2019年烟台二模理科）已知椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的四个顶点围成的菱形的面积为43，椭圆的一个焦点为圆x2+y2-2x=0的圆心.

（1）求椭圆的方程;

（2）若M，N为椭圆上的两個动点，直线OM，ON的斜率分别为k1，k2，当k1k2=-34时，△MON的面积是否为定值？若为定值，求出此定值;若不为定值，说明理由.

解 （1）由已知可得，2ab=43，c=1，又因为a2-b2=c2=1，解得a=2，b=3，所以椭圆的方程为x24+y23=1.

（2）在伸缩变换φ：x′=x2，

y′=y3下，椭圆x24+y23=1变为单位圆：x′2+y′2=1，椭圆上的动点M，N在单位圆上对应点M′，N′，直线OM′，ON′的斜率分别为k′1，k′2，由伸缩变换性质可得，k′1=23k1，k′2=23k2，所以k′1k′2=43k1k2=-1，所以OM′⊥ON′，所以S△OM′N′=12|OM′||ON′|=12×12=12，所以SOMN=23S△OM′N′=3，所以△MON的面积为定值3.

评注 本题第（2）问运用了伸缩变换法，根据伸缩变换的性质，得出OM′与ON′垂直，容易得出△OM′N′的面积，从而得出△MON的面积.

题5 （2018年高中数学联赛甘肃预赛）已知点P为直线x+2y=4上一动点，过点P作椭圆x2+4y2=4的两条切线，切点分别为A，B，当点P运动时，直线AB过定点的坐标是

.

解 在伸缩变换φ：x′=x2，

y′=y下，椭圆x2+4y2=4变为x′2+y′2=1，直线x+2y=4变为x′+y′-2=0，P（x0，y0）变为P′（x0′，y′0），则x0′+y′0-2=0，则y′0=-x0′+2，A，B分别变为A′，B′.圆x′2+y′2=2的切点弦A′B′的方程x0′x+y′0y=1，所以x0′x+（-x0′+2）y=1，即（x-y）x0′+（2y-1）=0，故x-y=0且2y-1=0，解得x=12，y=12，即直线A′B′过定点（12，12），所以直线AB过定点（1，12）.

评注 本题运用伸缩变换法，将椭圆的切点弦问题化归为单位圆的切点弦过定点问题，从而得出直线AB所过的定点坐标.

题6 （2017年全国高中数学联赛一试）在平面直角坐标xOy中，椭圆C的方程为x29+y210=1，F为C的上焦点，A为C的右顶点，P是C上位于第一象限内的动点，则四边形OAPF的面积的最大值为

.

解 在伸缩变换φ：x′=x3，

y′=y10下，椭圆C：x29+y210=1变为单位圆：x′2+y′2=1，点F（0，1），A（3，0），P在单位圆上分别对应F′（0，110），A′（1，0），P′，且点P′是单位圆x′2+y′2=1上位于第一象限内的动点.由平面几何的知识，当OP′⊥A′F′时，四边形OA′P′F′的面积最大，最大值为S′=12|A′F′||OP′|=12×1+110×1=11020.由伸缩变换性质可得，四边形OAPF的面积的最大值为S=λμS′=310×11020=3112.

评注 运用伸缩变换法，将椭圆化为单位圆，再求出四边形OA′P′F′的最大面积，由伸缩变换性质，从而求出四边形OAPF的最大面积.

参考文献：

[1]刘绍学.普通高中课程标准实验教科书`数学选修4-4（人教A版）[M].北京：人民教育出版社，2007.

[责任编辑：李 璟]