微教研“完全平方式”引发的思考

崔恒刘

[摘要]苏科版教材中没有“完全平方式”的概念，然而在教材配套的补充习题中遇到有关“完全平方式”的问题，教研组组织教师研讨。出现套用相近概念“平方数、完全平方公式”的两种不同解读，一种观点是可以写作整式平方的式子就是“完全平方式”;另一种观点是一个多项式（不能是单项式）的平方才能称为“完全平方式”。研讨的话题看似意义不大，但很典型，因为在教学中经常会遇到一些有争议的概念、题目和解法，当学生提出这类问题时，总是采取绕开、回避的策略肯定不是上策。在教研活动中大家各抒己见，充分研讨交流，并反思概念教学、选题改编的数学教育问题。

[关键词]完全平方式;描述性定义;概念教学

停课不停学，线上教学期间，我校各年级备课组的教研活动改为视频会议、线上研讨，3月20日，备课组长抛出了一个话题，教师各抒己见，笔者全程参与，感觉这是一次关于“数学概念教学、课堂练习选题”的深度研讨，为丰富视角，促进更多更广泛的交流研讨，笔者将研讨内容及个人一点思考整理成文。与读者研讨。

1研讨话题

苏科版七下数学课本配套的《补充习题》第49页9.5“多项式的因式分解（3）”第5题：二项式4m²+9加上一个单项式后是一个含有m的完全平方式。请写出一个这样的单项式。

教参提供的答案是：答案不唯一，如12m。

我们交流讨论明确的问题是：学生填写单项式一9是否正确？也就是说整式4m²是否是完全平方式？

2 研讨纪要

师₁：这一题有几个符合要求的答案？我们备课组要统一一下认识。

师₂：题目不要求写全，填写一个，如12m即可。

师：如果学生填写单项式-9对不对？

师₄：不对，不能填写单项式-9.二项式4m²+9加上一个单项式-9后，为4m²，是一个单项式，不是完全平方式。

师₃：完全可以填单项式-9，4m²=（2m）²，是完全平方式。

师₄：完全平方式，顾名思义，得名于完全平方公式。

师₅：不对，书上没有完全平方式的概念，我在网上搜索“什么叫做完全平方式”：完全平方式是指如果满足对于一个具有若干个简单变元的整式A。如果存在另一个实系数整式B，使A=B²的条件话，则称A是完全平方式。

师₃：是的，系数都不需要是整数，只要能改写成一个实系数整式B的平方形式，就是完全平方式。2m是单项式。也是整式，因此4m²是完全平方式。不但如此。m的平方和4都可以叫完全平方式。

师₆：我认为不对。类比平方数，m的平方和4叫平方式即可。完全二字有点做作。

师₄：研读教材，为什么第8章“幂的运算”中没有类似的问题？学习了“完全平方公式”后，它才冒出来，由此应该看出，一个多项式（不能是单项式）的平方才能称为“完全平方式”。

师₇：题目只要写一个答案，又没有要求写全的，讲时要求学生补中间项即可。

师₁：我认为还是要弄清楚好，如果学生做某本教辅用书时遇到困难来问我。或者平时考试中遇到此类问题我们老师该如何处理？

师₇：我跟学生说，这类题目不会考，遇到不做也没有关系。

师₈：是的，教材也有说不清的时候。

师₁：这类题考查的目的我们都显而易见的，所以没有办法回避。还是弄清楚为好。

师₉：如果学生问，就说填写-9也对。但是为了不失分。最好不要填写-9.我以前与编辑交流这类有歧义的问题时。他们的回答是尽量避开。

师₈：是的，这类题挺重要的。但要说清楚呢，又感觉到哕嗦。所以很无奈。

师₁₀：细读上面讨论，我同意师。的观点！师。是研读苏科版教材后发表的意见！各位细评师。的话：完全平方式，顾名思义，得名于完全平方公式。为什么第8章“幂的运算”中没有类似的问题？学习了“完全平方公式”后，它才冒出来，由此应该看出，一个多项式（不能是单项式）的平方才能称为“完全平方式”。

师₇：大家不要纠结，中考命题时，试卷上每一个概念都要翻课本，比如：负倒数、函数的解析式等名词均不会出现。这个也是中考最后去审题的老师任务之一。

师₈：关键在于平时考试时，我们的命题老师可能疏忽所以师、说得好，我们要统一思想，来一个考试规范。

3 研讨思考

教研活動虽然暂告一段落，但研讨引发的思考并没有停止。笔者谈一点个人的所思所想。欢迎拍砖。

思考一 孟子曰：贤者以其昭昭，使人昭昭。意思是：贤人先使自己明白，然后才去使别人明白。教育者先受教育，教师先要自己弄明白，然后才能使学生明白。研讨的话题看似意义不大，但很典型，在我们日常的教学中，经常会遇到一些概念、规定，本身存在一定的争议，而即使讨论最终能够探讨明白，也并没有多大的价值。因此有些教师、专家、教材编写者认为应尽量避免在这种无意义的问题上浪费时间。正如讨论中师，说“我跟学生说，这类题目不会考，遇到不做也没有关系”。但是在学生提出这类问题时。总是采取绕开的策略也不见得是上策。换一种思路思考：从这些模糊有争议的地方出发，就可以发现，对于严谨性的追求正是数学学科发展的动力之一，有些看似无价值，但其中蕴含的思维取向却不见得没有意义，特别是作为教学研究，不应把实用价值作为唯一的评价取向。

思考二 关于“完全平方式”的定义。笔者查阅了不同的教科书及文献资料：

（1）人教版数学课本在八上第十四章《整式的乘法与因式分解》，14.2“乘法公式”，14.2.2“完全平方公式”这一节中，明确指出：（a+b）²=a²+2ab+b²，（a-b）²=a²-2ab+b²。也就是说，两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。这两个公式叫做（乘法的）完全平方公式。

在14.3“因式分解”。14.3.2“公式法”一节中。则明确给出“完全平方式”的定义：“我们把a²+2ab+b²和a²-2ab+b²。这样的式子叫做完全平方式”。利用完全平方公式可以把形如完全平方式的多项式因式分解。

（2）北师大版数学课本在八年级下册第四章《因式分解》第3节“公式法”中：形如a²±2ab+b²的式子称为完全平方式。

（3）浙教版数学课本七下第4章《因式分解》4.3“用乘法公式分解因式”也指出：我们把多项式a²+2ab+b²及a²-2ab+b²叫做完全平方式。在运用完全平方公式进行因式分解时。关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式。

（4）苏科版数学课本七下第9章《整式乘法与因式分解》，没有“完全平方式”的概念，在9.4“乘法公式”一节中，用的语句是：我们得到完全平方公式：（a+b）²=a²+2ab+b²，（a-b）²=a²-2ab+b²。在9.5多项式的因式分解中，则没有提及“完全平方式”，全章中无论是知识、例题，还是习题，也没有出现“完全平方式”，只在教材组配套的《补充习题》中出现。

（5）网上搜索，百度百科“完全平方式”：（本词条由“科普中国”科学百科词条编写与应用工作项目审核，审核专家刘军）完全平方式是指如果满足对于一个具有若干个简单变元的整式A，如果存在另一个实系数整式B。使A=B²的条件话，则称A是完全平方式，亦可表示为（a+b）²=a+2ab+b²，（a-b）²=a²-2ab+b²。该公式是进行代数运算与变形的重要的知识基础，是因式分解的常用到的公式。中文名：完全平方式：外文名：Perfect square trinomial。

从文献资料可以看出：人教版、北师大版、浙教版都是用的描述性定义，需要注意的是它们指明多项式a²±2ab+b²是“完全平方式”。但没有说完全平方式就一定是这两种形式的多项式或者说其它的就一定不是“完全平方式”;百度百科用的是严格规范的数学定义，由定义中的关键A=B²，B是一个实系数整式，单项式是整式。我们根据百度百科可以说4m²=（2m）²，是完全平方式，但是值得注意的是百度百科给出定义后，又特别指明“亦可表示为（a+b）²=a²+2ab+b²，（a-b）²=a²-2ab+b²。”并且说该公式是进行代数运算与变形的重要的知识基础。是因式分解的常用到的公式。

思考三 何为减负？教得多，考得少，才是减负。教得少，考得多。反会增加师生及家长负担。从人教版、北师大版、浙教版、百度百科等资料上我们还读出：文献资料都强调了“把多项式a²±2ab+b²叫做完全平方式”。并且强调是进行代数运算与变形的重要的知识基础，是因式分解的常用到的公式。完全平方式，亦可表示为（a+b）²=a²+2ab+b²，（a-b）²=a²-2ab+b²。该公式是只有多项式才能因式分解。苏科版教材则淡化处理，把教学的重心放在能推导、多角度理解、运用公式上。教师应该认真钻研教材，领会编写意图，把教学的重心放在提高数学核心素养上。数学的核心知识。主干知识最重要。因此淡化概念教学。相配套的练习、习题、考试等也要与之相对应。作为数学教师，我们要与时俱进，不能任凭自己的主观想象或经验感觉，拿到题目就进课堂。我们要认真学习研读新课标、新教材，明确课标要求，吃透教材，明确哪些内容该教，哪些知识不该讲，题目想考查什么？能不能进课堂，心中要有数。如针对讨论的源题，我们应该思考或者说换个角度来看：这个题目考查目的是什么？是不是为了考查完全平方公式？

思考四 教师要学会选题改编题。选题应紧扣教材、课标和当地中考要求，而不能心系教辅。被教辅牵着走，不能说练习册上一出现就非得讲。不适合的题坚决刪除，如果感觉有可取之处，则必须将题目适当的改编为我教学所用。

如：常见填空题“____是9的平方根”就非常不好，你说学生填3是9的平方根，错在哪儿？难道3不是9的平方根？为什么非要根据标准答案填“3或一3”？你要考查学生一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，干嘛不出“9的平方根是____”？

再如研讨所涉及的题目是好题。它能考查学生对完全平方公式的掌握程度和重要的数学思想分类。但是有争议。我们需要改编：

（1）如果二项式4m²+9加上一个单项式后能成为一个多项式的完全平方，那么这个单项式是什么？

（2）如果多项式4m²-6m+9加上一个单项式后能成为一个整式的完全平方，那么这个单项式是什么？

这样在课堂上组织引导学生分类讨论。既能帮助学生深度理解完全平方公式，又将分类的数学思想自然渗透其中，考试时则用填空或选择题的形式。