一题多解 优化思维结构

太敬艺

【摘 要】高中数学知识之间的联系十分密切，一题多解要求学生对同一问题尝试从多个不同的思考角度解答，能满足学生多样化学习的需要，提升其思维能力。笔者基于建构主义理论和信息加工学习论，以一道数列题为例，根据高三学生已有的知识和活动经验，提出在教学中预留一题多解的空间，启发学生打破定势思维，优化思维结构。

【关键词】高中数学;一题多解;思维结构;数列

【中图分类号】G633.6  【文献标识码】A  【文章编号】1671-8437（2020）34-0158-02

解题课的功能是使学生在概念课、原理课的基础上巩固已学概念、原理、思想与方法，并熟练运用它们解决问题[1]。考虑到高三学生的基础知识和基本技能掌握情况，教师应将关注点放在提高学生理解、分析、解答问题的能力上。部分学生在面临熟悉的数学情境或遇到与之前经验类似的问题表征形式时，容易凭借“经验与直觉”产生定势思维，不利于发散性数学思维及其结构的优化。因此在数学教学中，教师应重视学生的知识背景，做好学情分析，鼓励学生发散思维，积极引导学生对有启发性的数学问题进行共同探索、交流、质疑和评价，利用一题多解帮助学生避免“功能固着”现象，使学生在问题解决中完善知识网络，养成多角度、全方位思考问题的习惯。

1   一題多解

一题多解教学是指针对同一个问题引导学生从不同角度进行解读、探究、比较，并评价不同的解决方法。建构主义理论指出学习者会以自己的原有经验为基础，对新信息进行编码，建构自己的理解，原有知识又会因新经验的进入发生调整和改变，其中包含新旧经验冲突所引发的观念和结构重组[2]。教学中，教师应鼓励学生从不同角度思考问题，通过对题目的深入探究和评析帮助学生激活原有的知识经验、技能经验，并将其作为新知识、新技能、新方法的生长点。

信息加工心理学家安德森将知识分为两类，一类是陈述性知识，即关于事实、定义、定理、规则等方面的知识;另一类是程序性知识，指如何完成具体任务的知识。在带领学生探索解题方法的过程中，教师不能急于求成或包办代替，而应预留充足的时间带领学生回顾已有的知识经验（陈述性知识），鼓励学生尝试不同的解法（程序性知识）。学生只有在勇于探索、大胆试错、积极展示对问题的多种解读中，才能自发地强化或修正本身的知识结构和技能，完善现有思维结构。

2   例题剖析

该例题是高三习题课中对学生来说有自主探究价值的一道数列问题。下面笔者从学生具体解答情况出发，说明一题多解是如何体现学生数学思维结构的优化。

例题：已知等差数列{an}的公差不为零，且a3=3，

a1，a2，a4成等比数列，数列{bn}满足b1+2b2+3b3

+...+nbn=2an（ nN* ）。

（1）求数列{an}、{bn}的通项公式;

（2）求证：。

解：设数列{an}的公差为d，则a1=3-2d，a2=3-d，a3=3，a4=3+d，由（3-2d）（3+d）=（3-d）2解得d=1或d=0（舍去），所以an=n（ nN* ）。

因为b1+2b2+3b3+...+nbn=2n（ nN* ），所以b1+2b2+

3b3+...+（n-1）bn-1=2（n-1）（n2，nN* ），两式相减整理得。

验证：当n=1时，成立，所以bn=

（ nN* ）。

本题第（1）问是常见题型，解法较为常规，易错点在于求数列{bn}时，许多学生对n的取值范围考虑得不够严谨，忽略了对n=1的验证。第（2）问的待证不等式的构造巧妙，具有很高的探究价值，教师在讲解中需循序渐进并适时引导、点拨学生。课堂上，学生积极探索，产生了以下三种解法。

2.1  数学归纳法

因为...

（ nN* ）

（1）当n=1时，成立。

（2）当n=k时，成立。

下面证明n=k+1时，不等式仍然成立。

因为，

要证明n=k+1时不等式仍然成立，只需证明

，

化简后得（*）

即证，当时，此不等式显然成立。

由（1）（2）可知，原不等式对一切正整数n成立，

证毕。

数学归纳法是高中数学中的一种重要的演绎推理法，通常用于证明某个给定命题在整个（或者局部）自然数范围内成立，反映由特殊推导出一般的思维过程。笔者观察到部分学生在进行到步骤（*）时卡壳，没有清晰的化简方向，只完成了对数学归纳法基本步骤的简单模仿。此处的关键点在于启发学生发现，然后顺利进行因式分解。从信息加工理论的角度来看，如果学生不能将新学的知识与原有数学概念或规律联结，则在单一情境中获得的知识是单薄、孤立的，不能对输入的信息进行有效加工，进而产生思维障碍，导致解题受阻。

2.2  基本不等式

将待证不等式移项得

由多元基本不等式

得

当且仅当n=0时，等号成立，故

对一切正整数n成立。

部分学生观察到了左边不等式前后两项分子分母的对应关系，并由此联想到了多元基本不等式：对于m个正数t1，t2，...，tm，其算术平均值不小于其几何平均值，然后类比数列中的“累乘法”，利用基本不等式将冗长的不等式结构简化。

2.3  构造函数不等关系

从函数角度引导学生后，学生联想到了常见函数不等关系：由x > lnx+1（x≠1）得。

为证明原不等式，需证明，即证，由x > lnx+1知其成立，故原不等式得证。

数列的本质是以正整数集（或它的有限子集）为定义域的函数，所以学生可巧妙利用函数的不等关系、对数式运算法则对不等式结构进行优化，而这正能体现学生对数列的本质属性的深刻理解.

问题解决是一种重要的思维活动，是学习者运用知识与经验解决问题的过程[3]。数学解题灵活性的关键在于数学知识之间的联系，如本例中数列、函数、不等式之间的转化关系。数学知识网络中，陈述性知识是网络的节点，程序性知识则是联系节点的“通道”。学生通过重复记忆和大量练习可以暂时掌握陈述性知识，但因缺乏对概念来源和技巧应用的本质理解，当问题表征发生变化时，难以成功建立相关陈述性知识的联结，对程序性知识的掌握不够牢靠，从而导致出现听课易、解题难的

现象。

日常教学中，教师应保持课堂良好的学习交流氛围，信任学生的独立探究能力，培养其创新精神，避免学生将数学问题的解决等同于基本概念、公式、定理的生搬硬套。此外，课堂教学中，教师应促进学生主动输出，逐步克服思维惰性，并在学生给出好的问题切入角度时给予及时评价和认可，调动其主观能动性，使学生自发地将单一知识点之间的“通道”打通，使整个数学思维网络结构更高效、稳固。

【参考文献】

[1]朱清波，曹广福.例谈探究式解题课教学[J].数学教育学报，2020（2）.

[2]刘晓明，王丽荣.学习理论的新发展及对现代教学的启示[J].外国教育研究，2000（2）.

[3]吴增强.论有效教学的心理学支持[J].教育发展研究，2011（4）.