二重积分一题多解的方法总结

【摘 要】二重积分一般是利用直角坐标或者极坐标进行计算。本文中，笔者通过一道二重积分的例题，发散思维，给出四种解法，总结四种方法的使用条件和需要注意的地方。

【关键词】二重积分;极坐标;坐标变换

【中图分类号】G642  【文献标识码】A  【文章编号】1671-8437（2020）34-0014-02

二重积分是高等数学中多元函数积分学的重要组成部分。学习二重积分，需要具备扎实的空间解析几何基础和良好的定积分运算能力。在高等数学课堂教学中，数学教师一般是利用直角坐标系和极坐标系将二重积分转化为二次积分进行计算，导致学生思维固化，题目稍微变化就无从下手。尤其是在研究生入学考试中，题目的灵活性使得学生无从应对。本文中，笔者通过一道例题的四种解法，总结二重积分的解题技巧，并且给出每种方法的使用条件和需要注意的地方。

例题：计算积分，其中由不等式所确定。

1   利用极坐标系

在二重积分计算中，将直角坐标变换为极坐标的公式为

。

解法1：积分区域如图1，是一个圆心在处，半径为的圆，积分区域的极坐标方程为。

于是

解法1用的是常规的极坐标变换，但是计算量比较大，同时需要有扎实的定积分计算功底。该解法涉及定积分的周期公式、三角函数的和差化积公式和降幂公

式等。

解法2：由可得，令，则积分区域D的范围是，故

。

解法2利用的依然是极坐标的变换，只不过出发点变了，相当于观察者站在圆心处去观察积分区域D，解法1是观察者站在原点处观察。所以在解法2中相当于把坐标系平移了，平移以后会发现积分区域中两个积分变量和的上下限都变成了常数，这样便大大简化了计算过程。但是和解法1一样，这里也利用了三角函数的定积分公式，。解法2适用于积分区域是个圆，且圆心不在原点处，转化后积分上下限可变为常数的情况。

2   二重积分的换元法

考研大纲中并没有要求学生掌握二重积分的换元

法[1]，但是在某些情况下，利用换元法能够很好地进行简化计算。

解法3：由可得，令，根据雅可比行列式

，

故利用公式有

。

解法3应用的是二重积分换元法，从计算量上来看，比解法1和解法2要少很多。这里用到了积分区域的对称性，换元后，积分区域D'关于u轴和v轴对称，所以被积函数关于v和u是奇函数的二重积分等于零。实际上，极坐标变换也属于二重积分的换元法，利用雅可比行列式计算完以后等于。本題中x，y是有关u，v的线性函数，也称之为线性变换。

3   利用形心公式

设有一平面薄片，在平面上占有区域，其上

每一点的面密度为。若在上连续，

且平面上点处有一质量为的质点，则该薄片的质心坐标为：

。

当面密度时，质心坐标变为形心坐标。

解法4：由于积分区域关于对称，所以有，其中

，，因此

。

解法4巧妙地将二重积分的区域转换对称性和形心公式相结合，大大简化了二重积分的计算[2-5]。这种做法的条件是题目中恰好出现形心公式的一部分，但对公式的掌握要求较高。

二重积分的计算方法有很多种，本文通过一道题的四种解法介绍了极坐标变换，从两种角度进行变换的技巧，还有换元法中的线性变换以及利用形心公式解题的技巧。当然计算二重积分还有其他方法，如两个定积分的乘积、分部积分等。每种方法都有各自的特点，学习时要发散思维，灵活运用方法化简二重积分。

【参考文献】

[1]同济大学数学系.高等数学（第七版）[M].北京：高等教育出版社，2014.

[2]全国硕士研究生入学统一考试辅导用书编委会.考研数学基础复习全书[M].高等教出版社，2012.

[3]白旭亚，赵微.二重积分的简便计算[J].大庆师范学院学报，2018（3）.

[4]陈丹丹.简化积分计算的一类方法[J].赤峰学院学报（自然科学版），2018（8）.

[5]郑剑平.计算二重积分的几种简便方法[J].赤峰学院学报（自然科学版），2019（5）.

【作者简介】

杨德彬（1982～），女，黑龙江齐齐哈尔人，硕士，副教授。研究方向：应用数学。