三重积分的教与学

【摘 要】三重积分的计算，主要是考虑如何对其进行降维处理。本文提出采用微积分中微元法的思想，用“土豆条法”（投影法）和“土豆片法”（截面法）更加形象直观地解决三重积分的直角坐标计算和柱面坐标计算问题，以期提高教学效果。

【关键词】三重积分;投影法;截面法

【中图分类号】G642  【文献标识码】A  【文章编号】1671-8437（2020）34-0016-03

在《高等数学》课程[1]的教学内容中，三重积分的计算是重难点，教材中对于三重积分的解法，一般分为直角坐标法（投影法、截面法、三次积分法）、柱坐标法、球坐标法，不同的应用题型（如不同的积分区域、不同的被积函数）往往需要用不同的求解方法，然而积分题型太多，且有些积分区域复杂，导致大部分学生难以掌握，甚至部分学生连图形都难以画出[2-3]。因此在教学中如何用形象直观、浅显易懂的方式教会学生快速牢固掌握三重积分的计算，是需要认真思考并解决的问题。本文提出把三重积分m f （x，y，z）dz都看作密度为 f （x，y，z），所占空间为的物体的质量，采用微积分中微元法的思想，引用“土豆片法”和“土豆条法”解决三重积分的除球坐标法以外的三重积分计算问题，这样更加形象直观，且能简化传统教学内容中种类繁多的三重积分计算类型，使学生更加容易理解和掌握，极大地提高教学效果。

1   三重积分的计算方法

1.1  “土豆片法”（截面法）

如图1所示，计算三重积分m f （x，y，z）dz时，可把它看成计算密度为 f （x，y，z），外形为的一颗土豆的质量，考虑把它从垂直于z轴的方向切成土豆薄片Dz，每一片Dz的厚度非常小为dz。此时先计算土豆片Dz的质量，可看成是平面薄片的质量 f （x，y，z）乘以厚度dz，即 f （x，y，z）dxdydz;然后把所有土豆片的质量加起来就得到整颗土豆的质量，即m= f （x，y，z）dxdydz。

由此得到

f （x，y，z）dz f （x，y，z）dxdydz，从而把三重积分降维，简化成先计算二重积分，再计算定积分。因此教材上也把此种“土豆片法”称为截面法或“先二后一法”。

1.2  “土豆条法”（投影法）

如图2，在计算三重积分m= f （x，y，z）dv时，可考虑把它垂直于xOy的面切成竖状细土豆条，所有竖状土豆条在xOy面上所占的位置即整颗土豆在xOy面上的投影区域，记为D，每一根土豆条的粗细即在地面的投影，记为dxdy，土豆条的高度为z1（x，y）到z2（x，y）。此时先计算土豆条的质量，可看成是从下端z1（x，y）到上端z2（x，y）的一根细线的质量 f （x，y，z）dz乘以粗细dxdy，

即 f （x，y，z）dzdxdy;然后把区域D上所有土豆条的质量加起来得到整颗土豆的质量，即m=

f （x，y，z）dzdxdy。

由此得到， f （x，y，z）dz f （x，y，z）dzdxdy。

从而把三重积分降维，简化成先计算定积分再计算二重积分。因此教材上也把此种“土豆条法”称为投影法或“先一后二法”。

2  典型应用题例

例1：计算三重积分xdxdydz，其中为三个坐标面及平面x+2y+z=1所围成的闭区域，如图3所示。

该题可以采用“土豆条法”（投影法），记土豆在xOy面上的投影为D，切出的土豆条的下端在的下底面为z1（x，y）=0，上端在上底面为z2（x，y）=1-x-2y，从而

xdzdxdy

x（1-x-2y）dxdy

（1-x-2y）dy

（x-2x2+x3）dx。

通过此题看出，三次积分法可看成是：投影法/截面法+二重積分的直角坐标法。

例2：计算三重积分z2dxdydz，其中=，如图4所示。

该题可以采用“土豆片法”（截面法），记在z位置垂直于z轴切（截）出来的土豆片（截面）为Dz=，

从而

dxdydz

dxdydz

dz。

其中，为椭圆形的土豆片（截面）Dz的面积，为。

例3：计算三重积分dxdydz，其中为由柱面x2+y2=2x及平面z=0，z=a（a>0），y=0所围成半圆柱体，如图5所示。

该题可以采用“土豆条法”（投影法），记土豆在xOy面上的投影为D，切出的土豆条的下端在的下底面为z1（x，y）=0，上端在上底面为z2（x，y）=a，从而

dzdxdy

dxdyzdz

dxdy

dd。

例4：计算三重积分，其中由抛物面与平面所围成，如图6

所示。

该题可以采用“土豆条法”（投影法），记土豆在xOy面上的投影为D，切出的土豆条的下端在的下底面为，上端在上底面为z2（x，y）=h，从而

dzdxdy

dxdydz

dxdy

dd

。

通过例3和例4可看出，柱面坐标法可看成：投影法/截面法 + 二重积分的极坐标法。

3   结束语

在教学三重积分的计算时，先用“土豆条法”（投影法）和“土豆片法”（截面法）掌握三重积分微元法的基本思想方法，再针对具体三重积分的计算题例，考虑用“土豆条法”还是“土豆片法”去进行降维处理，得到一元与二元积分，进一步考虑把二元积分是用直角坐标法（X型/Y型）还是用极坐标法降维变成二次积分，最终求出其结果。通过这种方式，把三重积分计算中的投影法、截面法、三次积分法和柱面坐标法归纳成了“土豆条法”（投影法）和“土豆片法”（截面法），既能精简三重积分的计算类型，还能使学生更容易接受、理解和应用，极大地提高教学效果。

【参考文献】

[1]同济大学数学系.高等数学（第七版，下册）[M].北京：高等教育出版社，2014.

[2]徐俊丽，赵勇.三重积分计算的投影法与截面法的分析[J].青岛科技大学学报（自然科学版），2018（8）.

[3]程文韬.三重积分降维解法研究[J].教育现代化，2019（8）.

【作者简介】

周正松（1987～），男，硕士，讲师。研究方向：不确定性信息处理的数学。