三重积分的教与学

2020-06-07 09:19周正松
理科爱好者(教育教学版) 2020年6期

【摘 要】三重积分的计算,主要是考虑如何对其进行降维处理。本文提出采用微积分中微元法的思想,用“土豆条法”(投影法)和“土豆片法”(截面法)更加形象直观地解决三重积分的直角坐标计算和柱面坐标计算问题,以期提高教学效果。

【关键词】三重积分;投影法;截面法

【中图分类号】G642  【文献标识码】A  【文章编号】1671-8437(2020)34-0016-03

在《高等数学》课程[1]的教学内容中,三重积分的计算是重难点,教材中对于三重积分的解法,一般分为直角坐标法(投影法、截面法、三次积分法)、柱坐标法、球坐标法,不同的应用题型(如不同的积分区域、不同的被积函数)往往需要用不同的求解方法,然而积分题型太多,且有些积分区域复杂,导致大部分学生难以掌握,甚至部分学生连图形都难以画出[2-3]。因此在教学中如何用形象直观、浅显易懂的方式教会学生快速牢固掌握三重积分的计算,是需要认真思考并解决的问题。本文提出把三重积分m f (x,y,z)dz都看作密度为 f (x,y,z),所占空间为的物体的质量,采用微积分中微元法的思想,引用“土豆片法”和“土豆条法”解决三重积分的除球坐标法以外的三重积分计算问题,这样更加形象直观,且能简化传统教学内容中种类繁多的三重积分计算类型,使学生更加容易理解和掌握,极大地提高教学效果。

1   三重积分的计算方法

1.1  “土豆片法”(截面法)

如图1所示,计算三重积分m f (x,y,z)dz时,可把它看成计算密度为 f (x,y,z),外形为的一颗土豆的质量,考虑把它从垂直于z轴的方向切成土豆薄片Dz,每一片Dz的厚度非常小为dz。此时先计算土豆片Dz的质量,可看成是平面薄片的质量 f (x,y,z)乘以厚度dz,即 f (x,y,z)dxdydz;然后把所有土豆片的质量加起来就得到整颗土豆的质量,即m= f (x,y,z)dxdydz。

由此得到

f (x,y,z)dz f (x,y,z)dxdydz,从而把三重积分降维,简化成先计算二重积分,再计算定积分。因此教材上也把此种“土豆片法”称为截面法或“先二后一法”。

1.2  “土豆条法”(投影法)

如图2,在计算三重积分m= f (x,y,z)dv时,可考虑把它垂直于xOy的面切成竖状细土豆条,所有竖状土豆条在xOy面上所占的位置即整颗土豆在xOy面上的投影区域,记为D,每一根土豆条的粗细即在地面的投影,记为dxdy,土豆条的高度为z1(x,y)到z2(x,y)。此时先计算土豆条的质量,可看成是从下端z1(x,y)到上端z2(x,y)的一根细线的质量 f (x,y,z)dz乘以粗细dxdy,

即 f (x,y,z)dzdxdy;然后把区域D上所有土豆条的质量加起来得到整颗土豆的质量,即m=

f (x,y,z)dzdxdy。

由此得到, f (x,y,z)dz f (x,y,z)dzdxdy。

从而把三重积分降维,简化成先计算定积分再计算二重积分。因此教材上也把此种“土豆条法”称为投影法或“先一后二法”。

2  典型应用题例

例1:计算三重积分xdxdydz,其中为三个坐标面及平面x+2y+z=1所围成的闭区域,如图3所示。

该题可以采用“土豆条法”(投影法),记土豆在xOy面上的投影为D,切出的土豆条的下端在的下底面为z1(x,y)=0,上端在上底面为z2(x,y)=1-x-2y,从而

xdzdxdy

x(1-x-2y)dxdy

(1-x-2y)dy

(x-2x2+x3)dx。

通过此题看出,三次积分法可看成是:投影法/截面法+二重積分的直角坐标法。

例2:计算三重积分z2dxdydz,其中=,如图4所示。

该题可以采用“土豆片法”(截面法),记在z位置垂直于z轴切(截)出来的土豆片(截面)为Dz=,

从而

dxdydz

dxdydz

dz。

其中,为椭圆形的土豆片(截面)Dz的面积,为。

例3:计算三重积分dxdydz,其中为由柱面x2+y2=2x及平面z=0,z=a(a>0),y=0所围成半圆柱体,如图5所示。

该题可以采用“土豆条法”(投影法),记土豆在xOy面上的投影为D,切出的土豆条的下端在的下底面为z1(x,y)=0,上端在上底面为z2(x,y)=a,从而

dzdxdy

dxdyzdz

dxdy

dd。

例4:计算三重积分,其中由抛物面与平面所围成,如图6

所示。

该题可以采用“土豆条法”(投影法),记土豆在xOy面上的投影为D,切出的土豆条的下端在的下底面为,上端在上底面为z2(x,y)=h,从而

dzdxdy

dxdydz

dxdy

dd

通过例3和例4可看出,柱面坐标法可看成:投影法/截面法 + 二重积分的极坐标法。

3   结束语

在教学三重积分的计算时,先用“土豆条法”(投影法)和“土豆片法”(截面法)掌握三重积分微元法的基本思想方法,再针对具体三重积分的计算题例,考虑用“土豆条法”还是“土豆片法”去进行降维处理,得到一元与二元积分,进一步考虑把二元积分是用直角坐标法(X型/Y型)还是用极坐标法降维变成二次积分,最终求出其结果。通过这种方式,把三重积分计算中的投影法、截面法、三次积分法和柱面坐标法归纳成了“土豆条法”(投影法)和“土豆片法”(截面法),既能精简三重积分的计算类型,还能使学生更容易接受、理解和应用,极大地提高教学效果。

【参考文献】

[1]同济大学数学系.高等数学(第七版,下册)[M].北京:高等教育出版社,2014.

[2]徐俊丽,赵勇.三重积分计算的投影法与截面法的分析[J].青岛科技大学学报(自然科学版),2018(8).

[3]程文韬.三重积分降维解法研究[J].教育现代化,2019(8).

【作者简介】

周正松(1987~),男,硕士,讲师。研究方向:不确定性信息处理的数学。