试析小学基本数学模型及模型思想渗透教学

赵斌

摘   要：模型思想是数学核心素养之一。小学数学内容中基本的、核心的、贯穿于整个数学学习的数学模型有量化模型、等价模型、数轴模型等，模型思想渗透教学目标定位为长期运用感悟和初步经历建构，通过整体研读教材、系统渗透教学，建构结构性材料、触摸模型本质，开放活动空间、经历建模过程，介绍数学故事、了解模型历史等策略，让学生感受模型价值、了解模型结构、体验建模方法，逐步形成模型直观和模型意识，促进对模型思想的感悟，提升数学素养。

关键词：小学数学;模型思想;基本数学模型;渗透;感悟

中图分类号：G623.5    文献标识码：A    文章编号：1009-010X（2020）34-0042-05

数学思想是一种“隐性知识”，对数学思想的获得需要在长期、系统的数学学习中逐步感悟、完善、深化，其感悟程度，也在很大程度上影响着学生的思维方式和行为方式，是学生数学素养的集中体现。《义务教育数学课程标准（2011年版）》将数学基本思想作为“四基”之一纳入课程总目标中，并将三种数学基本思想之一的“模型思想”纳入十项数学基本素养中。小学阶段渗透模型思想的教学，有助于学生体会数学与现实世界的联系，发展学生用数学语言描述现实世界的意识和能力，提升学生的思维品质和数学素养。

一、模型思想及教学目标定位

数学模型是指针对或参照某种事物系统的主要特征、主要关系，用形式化的数学语言，概括地或近似地表述出来的一种数学结构。模型思想就是通过对现实问题进行抽象，建立数学模型，并用数学模型解决类似问题的方法与策略、意识与观念。广义的数学模型包括任意的数、式、性质、定律等，以这种定义，小学数学教材中广泛存在着各种数学模型;狭义的数学模型是指一些反映特定问题或系统的数学结构，如方程模型、函数模型等，以这种定义，小学数学教材中数学模型较少，且分散在特定教学内容中。

从思维过程看数学模型，人们先通过抽象，从现实世界进入数学内部，再通过推理实现数学自身发展，再将创建的方法和结论形成数学模型，广泛应用以解决现实世界中的问题。建立数学模型的过程较为复杂，一般步驟为“模型准备——模型假设——模型建立——模型求解——模型分析——模型检验——模型应用”。可见，建构数学模型首先需要具有一定的抽象思维能力和推理能力。而中国心理学家朱智贤认为，小学儿童思维的基本特点是由具体形象思维过渡到抽象逻辑思维，但总体而言，思维特点仍然具有很大程度的具体形象性。

综上可见，广义的数学模型范围很广，小学阶段模型思想的渗透教学会因泛化而难以聚焦;狭义的数学模型在小学阶段较少涉及，难以让学生有持续、深切的感悟。因此，需要以整体性的视角分析小学数学教材，提炼出基本的、核心的、贯穿于整个小学数学学习乃至后续学习的数学模型。同时因小学生思维特征的局限性，很难经历严格意义的、完整的建模过程，所以小学阶段模型思想的教学以长期渗透感悟为主：一方面从低年级开始，在长期运用数学模型的过程中引导感受模型的现实价值，并逐步形成模型直观和模型意识，不断深化对模型思想的感悟;另一方面结合相关教学内容引导学生经历简单的基本数学模型的建构过程，初步体验建模的基本方法，感悟其中的模型思想，为后续真正意义的建模奠定基础。

二、小学阶段基本数学模型

史宁中教授认为，数学模型就是用数学的语言讲述现实世界中与数量、图形有关的故事。这样的“故事”在小学教材中很多，笔者认为，量化、等价、数轴三种“故事”贯穿在小学数学内容始终，并对后续学习有着奠基作用。关注这三类数学模型并渗透引导学生感悟内在的思想，有助于学生对数学本质的理解，促进学生数学素养的提升。

（一）量化模型

量化即是用数讲述现实世界中量的故事。量化所体现出的思想就是由简单的定性描述过渡到精确的定量刻画。量化模型所体现出的思想也就是为实现这种精确的定量刻画建构出数学模型的思想。对现实世界中事物、现象的量化是数学中最为普遍的现象，也是数学在现实问题解决、文化交流中作用的充分体现。量化的过程从思维层面分析，运用了抽象、推理的数学思想，但量化后形成的整个结构，却体现出模型的思想。量化实质就是“标准化”的过程，对量化后形成的数学模型的感悟，有利于学生初步了解“标准化”过程，形成“标准化”的意识，发展学生创造性思维。

量化模型中最典型的是时间模型，可以说，对时间的量化是人类迄今为止建构出的最为重要的数学模型。除了时间模型，在小学数学教材中还有长度、角度、重量、面积、体积等量化模型，这些模型，有的物化成工具，如直尺、量角器;有的没有形成工具，但可借助其他工具度量后通过推算得来。

教学这些内容时，我们不仅需要关注每个度量单位的定义以及其中的抽象、推理过程，还要引导学生体验到不同量化模型由定性描述到逐步精确定量刻画而形成数学模型的过程，了解到该模型是基于怎样的现实背景产生，怎样与现实世界以及人们实际需要相联系的。一方面让学生的认知结构化，另一方面让学生感悟不同量化模型中共同的思想，逐步形成对现实世界中的现象、规律进行量化并建构数学模型的意识。

（二）等价模型

等价即是用等式讲述现实世界中相等关系的故事。史宁中、孔凡哲教授认为数学建模的本质就是通过等号将相互等价的两件事情联立，等号的左、右两边等价。等价模型所体现出的思想就是用等式建构等价模型的思想，而不论等号两边的量是已知还是未知，是一个还是多个，它要做的就是客观描述现实世界中的相等关系。因此，等价模型渗透、贯穿在整个数学知识体系中，从一年级的1+1=2，到运算律a+b=b+a，到计算公式S=ab，再到方程、函数等，乃至其他领域的诸多模型如凯恩斯静态模型、爱因斯坦质能变换公式等，都是从不同视角、用或数字或字母建构起等式，讲述不同领域的等价关系的故事。它们中有的是描述现实世界中客观现象的静态等价关系，有的是描述现实世界中变化规律中的动态等价关系。从小学阶段在教学中渗透等价模型的思想，不仅有助于学生对等式的理解，也有助于学生对不等式的建构，并孕育学生的代数思维，提升学生运用符号建构模型以表征现实世界中现象和规律的意识和能力。

等价模型无论简单还是复杂，其中最重要的符号“=”是一年级就教学的。因此从低年级开始，就需要引导学生理解等号表示的等价关系，把等式看作整体对象来处理，渗透初步的代数思维，而不仅只关注它的推算意义;中、高年级在运算律、计算公式等的抽象与推导过程中，逐步让学生经历等价模型结构中从数到字母的扩展，感受到其本质都是表示等价的一种模型;到高年级认识方程，则需要进一步突出方程中所渗透的模型思想，进一步发展学生的代数思维和意识。

（三）数轴模型

数轴是刻画一维空间的数学模型。它架构起了数与形的桥梁，是用数或形讲述现实世界中对方的故事。数轴的三要素是原点、正方向和单位长度，这也是数轴模型的本质特征。因此，数轴模型所体现出的思想就是以原点、正方向和单位长度描述数量或空间相对位置关系的思想。在这种思想下，衍生出很多空间模型，如在二维、三维空间中的直角坐标系模型，球面空间中的黎曼几何模型，四维空间中的爱因斯坦时空模型等，都是基于数轴模型思想在不同环境中的运用和延伸。数轴模型的思想不仅体现在图形与几何内容领域，在数与代数领域中也发挥着重要作用，在这种思想下衍生出了“线段图”等常用数学模型。在知网期刊数据库中搜索关键词“数轴”，出现1655条结果，小学中就有大量运用数轴模型教学近似数、小数、负数、数的复习等案例，中学则更多，其他学科中还有运用数轴模型梳理近代史等内容的文章。可见数轴模型不仅是一种数学模型，它在多内容、各学段、多学科中都发挥着重要作用。

数轴作为定义是在七年级出现，但对于数轴模型的应用从小学低年级就开始渗透。在数与代数内容中，让学生在“数线”上用数表示对应点就是最初步的渗透。将数轴运用在“数的认识”教学中，有助于学生直观理解抽象的数，发展学生数感，逐步让学生在头脑中将“数”图形化和结构化，并形成一种思维方式。在图形与几何内容中，用“第几排”“第几个”等方式确定位置就渗透着以数轴模型确定一维空间中位置的相对关系，到高年级则进一步拓展为用复合数轴形成的平面直角坐标系确定二维空间中的位置。要强调的是，小学阶段教学中不需要揭示数轴中的概念，但对其渗透的思想要渗透引导学生感悟，不仅要将数轴作为相关知识学习的工具，更需要我们以整体化、结构化的视角研究其在小学教学内容中的渗透，并引导学生常态化地运用数轴模型，发挥其结构性的功能，沟通数与形的联系，发展学生的数学表征能力，感受到数学知识之间、数学与現实世界之间的联系，培养学生的发散性思维和创造性思维，形成用这一模型发现、分析和解决问题的意识与习惯。

三、模型思想渗透教学策略

（一）整体研读教材，系统渗透教学

思想的感悟不是一两节课能达成的，是有意识地长期渗透感悟的过程，这就需要教师深入理解并系统梳理小学教材，从低年级开始引导初步感悟，中高年级逐步抽象、概括，结合课程实施目标，制定关于模型思想渗透教学的整体目标与阶段性目标，引导学生分步感悟模型思想。

如对于数轴模型的渗透教学，教材从一年级上册“认识10以内的数”单元开始就出现数轴，之后的教材也大量出现，教师教学时除了要以模型思想实施渗透教学，让学生逐步感受到各个数、各种数可以用这条直线上的点对应表示出，最终以数轴模型建构起整个关于数的知识结构，同时还要适时引导学生以此为工具解决相关实际问题，如在比较两个数的大小、求近似数、“哪个数最接近某数”等问题中，除了允许学生用估计、计算等方法，还要有意识地引导学生在数轴中找到数的对应点，直观地分析、解决问题。之后的小数、分数等数的教学，将数轴作为主线，从低年级的直观数轴表征逐步过渡到高年级的想象数轴表征，帮助学生直观、深入认数的同时发展数感，感受数轴模型的价值，感悟模型思想。在四年级“用数对确定位置”内容的教学中，可以先出示横向排成一条直线上的几位学生座位图，让学生说说其中一位学生的位置是在“第几个”，再将几个学生座位抽象成点，形成数轴，学生再次描述该学生的位置，使学生感受到数轴中原点和正方向的重要性，之后将图进行扩展，出示二维座位平面图，让学生说说其中一位学生（在第一列中）坐在“第几排”，再出示纵向数轴，再次让学生感受纵向数轴中原点和正方向的作用。通过横向、纵向两次一维空间中某点位置的确定，抽象成两条数轴模型，并初步建构出平面直角坐标系，之后再展开“数对”的教学。这样，让学生经历从一维到二维空间中数轴模型的运用过程，发展学生用数去描述不同空间内相对位置的意识，帮助学生发展空间观念的同时，感悟到确定空间位置时数轴模型的作用，感悟模型思想。

（二）建构结构性材料，触摸模型本质

渗透模型思想，首先从提供给学生的学习材料开始。数学模型是一种结构，教师要有意识地遴选、编排一些结构性材料提供给学生，引导学生在这些材料中感悟到其中内隐的、本质的结构。对于一些数学模型的教学，可以通过具有结构性的材料的建构，引导学生运用材料开展分类、对比、交流等数学活动，在变化中感受不变的模型，触摸模型本质，感悟模型思想。

如对于等价模型的渗透教学，从一年级教学中就可开始，并贯穿整个小学阶段。吴恢銮老师在一年级教学中先引导学生借助天平直观，分别开放地让学生写□=□+□、□+□=□+□两类等式，再将学生作品进行有序展示，组织交流活动，之后由直观操作提升到符号操作，呈现“9+▲=■+4”，引导学生想一想▲和■可以各是多少，列举出来，再进行展示交流。教师通过问题引领、开放探究，通过具有结构性的学习材料的展示引导学生开展交流活动，让学生在不同类型的等式中触摸等价模型本质，发展代数思维，感悟模型思想。到五年级对于认识方程的教学，则需进一步体现等价模型本质。笔者教学时通过天平直观引导学生建构50+50=100的等式引入，之后呈现天平一边是x克和50克，另一边是100克，通过问题“你会像刚才那样，用式子表示现在天平的状态吗？”引领学生自主建构等式，通过展示两种典型等式“x+50=100”和“100-50=50”，引导学生在对比辨析后达成共识：“x+50=100”清楚表示出天平现在状态，而另一式子是在求x的结果。从而突出了建构方程模型的关键：客观描述等价关系。之后练习环节分别呈现两组具有结构性的题组，题组一：①男生有15人，女生有13人，一共有多少人？②男生有15人，女生有a人，一共有28人。③男生有b人，女生有13人，一共有28人。题组二：①平行四边形的底是5米，高是4米，面积是多少平方米？②平行四边形的底是x米，高是4米，面积是20平方米。③平行四边形的底是5米，高是y米，面积是20平方米。引导学生分组写出等式，并思考“如果将每组等式看作天平，左、右两边各是什么？”之后通过展示、交流，引导学生在具有结构性的材料中感受到数量间的相等关系、计算公式等就是一架隐形天平，写等式关键在于建构出内在的等价模型。

此外，在运算律等内容的教学中，也可通过建构具有结构性的材料，引导学生初步经历模型建构的过程，感悟到同一类不同等式中内在的相同结构，不断深化对模型思想的感悟。

（三）开放活动空间，经历建模过程

小学阶段学生因思维特征的局限性，难以进行严格意义的建模活动。但对于一些简单数学模型的教学，基于学生已有经验和认知特点，开放活动空间，引导学生经历初步的模型建构、精确化、优化、运用的过程，有助于学生积累初步的建模经验，体验其价值，感悟模型思想。

笔者理解，强震球老师在四年级“角的度量”一课教学中，就围绕“度”（公度）和“量”（测量）这两个核心，引导学生逐步建构起关于角度的量化模型（物化为量角器），再运用模型解决现实问题的过程：首先通过“比角”活动引发学生运用“公度”度量角度的内需，并用“单位小角”（10度角）比较出两个角的大小，之后通过问题“怎样量角方便？”激活学生合并“单位小角”、建构量角模型的内需，通过演示，呈现出18个“单位小角”累积的半圆度量模型，接着让学生用该工具量几个角，其中有一个角比两个“单位小角”多出一点点，引发学生细化度量单位以使度量精确化的内需，教师顺势将每个“单位小角”平均分成10份，形成量角器雏形，之后再通过问题引领，将量角器逐步优化，形成规范的量角器，最后组织学生用量角器准确度量不同类型的角。整个教学中，学生经历了“公度”需求、“单位”累积、“单位”细化等建构量化模型的过程，在用量角器量角的过程中逐步掌握了模型运用的方法，感受到模型的现实价值。

（四）介绍数学故事，了解模型历史

很多数学模型形成的过程经历了曲折而有趣的过程，其历史故事也让抽象的数学模型有了更多人文气息，成为数学文化的一部分，并在数学教育中发挥着不可替代的作用。在数学教学中适时介绍数学模型背后的历史故事，一方面能让学生了解到数学模型形成的背景，从而进一步感受其价值;另一方面让学生整体了解到该模型经历了怎样的形成及演变过程，深化对建模过程的了解，从而发挥数学史的育人功能。

以模型思想感悟的视角引入数学故事，首先需要教师对教材内容发掘和梳理，适时渗透引入。如在二年级综合实践活动“我们身体的‘尺”一课的教学中，可以渗透人类面对长度度量问题，经历了怎样从“身体尺”到“工具尺”的演变过程，其中遇到哪些问题，又怎样不断将度量单位精确化和扩展，最后形成现在的数学模型的。教学四年级“用数对确定位置”时，可以在新授前或者在新授后适时引入“笛卡尔与蜘蛛”的故事，让学生了解到数对这一枯燥的数学模型背后有着怎样生动、有趣的故事，感受到复杂的数学模型的形成有时就是这么简单，发展数学眼光、提升学习自信。在三年级“年、月、日”教学中，可以适时结合天文知识介绍复杂的时间模型是怎样形成并逐步精确化的，也可穿插“恺撒修历法”等小故事，让数学模型的感悟更有温度。

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【责任编辑 王   悦】