让课堂探究真发生、学习真发生

郭丹丹

摘  要：《钉子板上的多边形》是苏教版义务教育数学教科书五上内容。本课教学主要引导学生在具体的观察、猜测、验证、操作、思考等探究过程中发现规律。整节课的教学重视调动学生主体作用，引导学生经历探索规律的完整过程，呈现出在学习中提问、在观察中猜想、在实践中验证、在交流中完善结论、在总结中反思提升的教学特色。

关键词：提问;猜想;验证;结论;反思

小学数学课堂教学的改进，需要以学生为中心，发挥学生的主体作用，让其成为学习的主人。在被动学习状态下，学生会消极应付学习，有时学生的认知和探究活动，不是其自我追求的行为，而成了一种虚假的、形式上的学习现象。因此，有人提出要让课堂教学中的探究真发生、思维真发生、学习真发生。笔者本着这一认识践行课堂教学，着重研磨了《钉子板上的多边形》一课，以下是该课的教学实录片段及其反思。

■【案例片段】

師：同学们，请仔细观察钉子板上围成的图形。钉子板上多边形的面积可能和哪里的钉子数有关？

生1：我觉得多边形的面积可能和多边形外部的钉子数有关。

生2：我觉得多边形的面积可能和多边形内部的钉子数有关。根据这幅图，我们可以看到多边形内部的钉子数逐渐变多，而且它的面积也随之变大。

生3：我觉得多边形的面积可能和多边形内部的钉子数有关，还可能和多边形边上的钉子数有关。我们可以看到多边形的面积在变大的同时，多边形内部的钉子数在逐渐变多，而且多边形边上的钉子数也变多了。

师：多边形的面积可能和多边形外部的钉子数有关吗？

生：多边形外部的钉子数根本无法确定多边形的大小，所以钉子板上多边形的面积跟外部的钉子数一定是无关的。

……

师：是不是所有内部是一颗钉子的多边形，都符合刚刚我们所提的规律呢？

（请全班来集体验证。）

师：你画的内部是一颗钉子的多边形，符合刚刚我们所说的规律吗？

生：符合。

……

生：当多边形内部钉子数是2时，多边形的面积和多边形边上钉子数的关系还会是S=n÷2吗？

……

师：猜一猜，当内部钉子数是3的时候，S可能等于什么？钉子数是4的时候呢？内部钉子数还可能是几？

现在开展如下探索活动，要求和步骤是——

1. 先猜一猜你想研究的多边形面积和多边形边上钉子数以及内部钉子数之间的关系，并且写下来。

2. 再在点子图上画一个多边形，数一数、算一算，验证你的猜想。

师：你研究的是内部有几颗钉子的多边形？我们猜一猜规律是什么。

师：咱们猜得对吗？

生：对。

师：你们太厉害了吧，怎么猜得这么准呀，是发现了什么吗？

生：S=n÷2+（a-1）。对于这个结论，你有没有什么想说的？

生：a有没有可能是0？

师：是啊，当a=0时，这个发现是否也成立呢？你这个问题提得太有价值了，我们一起来验证。

生：当a=0时，也符合这个规律。所以这个式子符合a从0开始的任意一个自然数。

……

■【案例反思】

上述案例片段引发了执教者的深刻反思。对于五年级学生来说，“钉子板上的多边形”是他们第一次通过整节课的学习来研究的一项重要的数学定理。以下几点既可以算是个人的教学体会，也可作为某种教学已得的经验与同行们交流分享。

一、从问题出发，引合理猜想

牛顿曾说：“没有大胆的猜想，就做不出伟大的发现。”猜想的过程其实就是动脑的过程，它对学生的思维能力起到了一定的促进作用。本节课中，大部分学生都能够通过观察分析进行合情推理、合理猜想，也都能够较为容易地猜测出钉子板上多边形的面积可能与钉子板内部的钉子数以及多边形边上的钉子数有关。他们中的部分学生不仅能根据自己已有的经验或经历对自己的猜想进行举例说明，还能够用文字描述、图示等形式进行合乎道理的分析和说明，语言表达顺畅，衔接自然。当然，班里也存在一小部分学生纯粹是胡乱猜测，他们认为钉子板上多边形的面积跟多边形外部的钉子数有关。当教师让这部分学生分析时，他们往往会说“我就是随便猜猜的”。这部分学生完全是凭直觉提出猜想，至于这个猜想是否与问题情境有关，则根本无法给出适当的解释和说明。大部分学生认为，虽然猜想时做到了有理有据，但那只是大家的猜想，一点也不“科学”“严谨”，必须要进一步验证才行。这就激发出学生想要探究的欲望，突出了验证猜想的必要性和迫切性，自然而然地就把学习活动推进到下一步，充分体现了教师是学生学习的合作者、引导者和参与者，课堂教学模式也从“以教师的教为主体”转变成了“以学生的学为主体”。

学生找到当内部钉子数为1和2时多边形面积和多边形边上钉子数的关系，并且能够从已有的事实出发，凭借现有的结论，运用归纳和类比等推断出当内部钉子数是3、4、5……多边形的面积和多边形边上钉子数之间的关系。这里的猜想看似“简单”，实则需要先找到当a=1和a=2时的关系，才能进一步思考。学生所验证的数据范围较广，能够体现教师的“放”。学生还能够抓住事物之间的相互联系做出猜想，教师在尊重学生的基础上，引领探究活动循序渐进地进行。

二、猜想中发现，以实践验证

正如毛泽东所说：“实践是检验真理的唯一标准。”当学生通过观察、计算、分析等学习手段发现当a=1时S和n之间的关系，这时他们的发现仅仅是根据书上的4幅图暂时得到的结果而已，还需要大量的具体数据来验证。教师让学生通过找反例的形式，佐证了这一结论。在教学中，教师要改变学生的定向思维模式，不仅要教给学生正向思维，还要教给学生逆向思维，这样更有助于提高学生的思维能力。如果学生想要对一个猜想进行验证，但在独立思考或者小组合作思考之后，仍然不知如何验证时，教师可以选择在恰当的时机用语言、图文等提醒和引导，通过回顾以往的学习经验和已掌握的学习方法，使学生产生明确的、清晰的、可操作性的想法，由此验证猜想是否正确。教师视情况而定，还可以直接告诉学生一些验证方法，如举例验证法、推导验证法、类比验证法、操作验证法、查阅资料验证法等，以此来帮助学生解决问题。与此同时，如果想要提高学生的猜想验证能力，不仅要提供具体可猜想验证的环境，还要让学生学会使用正确的猜想验证方法。教师在教学中需要给学生足够的猜想空间，即使有少部分学生“随便猜猜”也是完全可以接受的，教师要给予这部分学生一定的肯定，以此来激发他们的学习兴趣，一旦有了兴趣，他们就会积极主动地参与到学习过程中来，努力地去验证自己的结论，久而久之就会改变自己的学习态度。

学生在已有学习经验、能够进行合情推理的基础上，猜想当内部钉子数不同时多边形的面积和多边形边上钉子数之间的关系。学生知道，只有猜想是不够的，必须要对猜想进行验证。学生从“要我学”变成“我要学”，从被动学习变成主动研究，这很容易让学生在心理上取得一定的满足感，激发起无限的学习热情，有助于提升他們的探究能力。

三、验证中总结，总结中反思

曾子说过：“吾日三省吾身。”学生不仅每天要多次反省自己的所作所为，在学习上也同样要反省每天所学的内容是否还存在些许疑惑。学生通过自己的努力以及同伴和老师的帮助，找到当内部钉子数是正整数时多边形面积和多边形边上钉子数的关系。班上有少数学生对该结论存在疑问：如果内部钉子数是0，这个结论是否还成立？这部分学生的反思能力和探究能力较强，有着严谨的科学态度，能够根据问题情境中的具体信息，根据思考、探究等提出与问题情境有关联的、清晰的、确定的数学问题，同时能够让周围的小伙伴通过联想相关的知识、小组合作、探究、推理等方法得到答案。学生之间的讨论互助，不仅能让结论更加完整化，而且还会对其他同学起到一定的激励作用，鼓励他们以后思考问题也要全面。课堂小结也是每节课不可缺少的一部分。学生通过自主思考总结或小组合作思考总结，不仅能够用自己的语言描述本节课所学的知识，而且还考验了自己对本节课知识的掌握程度，更有甚者会对之前所学知识产生一定的疑惑并引导全班学生进行集中探讨。反思是学习的一种有效手段，是学习中不可缺少的重要环节。教师是学生的引路人，更是反思性学习的促进者。教师必须不断地对自己的教学进行反思，不断地提高自身的教学水平。学生是反思的主体，在课堂教学中，教师不仅要创造机会帮助学生建立反思意识，更要在平时的教学中培养学生的反思习惯。

《钉子板上的多边形》一课的探究学习，需要学生经历多次猜想和多次验证才能得到结论。根据具体的情境，将合情推理、合理猜想通过活动进行验证，获取结论后再加以反思。探究课堂中，围绕数学猜想，学生经历了“提出问题―合理猜想―设法验证―得出结论―回顾反思”的学习过程。正因为经历了这种探究过程，猜想验证思想方法才得以渗透，也才能培养学生更加严谨的学习态度和推理能力，使学生的认知水平和思维能力都得到一定程度的提升。

作为一线教师，在平时的课堂教学中要把猜想验证等数学方法加以延伸，挖掘出教材背后深层次的思想方法。我们不仅要让学生知其然，还要让他们知其所以然，一定要让课堂上的学生探究真发生、学习真发生。