例析二阶导数在函数方面的应用

江苏省南通市海门证大中学 李 明

随着高等数学知识下放趋势的明朗，在全国各地的高考题中，越来越多地出现了具有高等数学背景的题目。当然，高考题目依然是以高中所学的知识为主要依据，但是这也意味着高中阶段对于高等数学中极限、微积分等思想的涉及应该越来越广泛、深入。

一、二阶导数在单调性判断方面的运用

在高考题中对函数这一考点的考查，往往需要从导数的角度出发解决，学生通过对函数进行一次求导，并进一步结合函数与导数的相关知识，从而对一般性的证明题或者求解参数取值范围的题目进行求解。但随着高等数学思想的引入，部分题目在进行了一次求导后，依然无法明确判断出原函数一阶导数的正负性，如此也就很难对原函数的增减性进行判断，这将给学生的解题带来了困扰。如果学生利用二阶导数的知识，继续对一阶导数进行求导，也就是求原函数的二阶导数，往往可以产生不错的效果，通过对二阶导数正负性的判定，进一步确定一阶导数的正负性，从而判断出原函数的增减性，为学生的解题提供了极大的便利。

反思：从本质上来说，本题是由导函数的正负性出发，进一步判断原函数的增减性，从而完成原题，但是在本题中，原函数的导函数的正负性无法通过直接观察等简单的方法得出结论，因此需要通过分析二阶导数的正负性来判断出原函数的导函数的正负性，从而完成对原函数增减性的判定。

二、二阶导数在判断根的个数方面的应用

在近几年的高考题中，多次出现对某一方程根的个数的判定，这类题目一般无法直接通过计算得出结论，既然不能通过直接计算得出结论，学生可以考虑建立函数关系，从而通过对函数本身性质的讨论，间接得出原方程的根的个数。

例2：已知函数f（x）=（x2-3x+3）ex，设g（x）=f（x）+（x-2）ex，当x＞1 时，试判断方程g（x）=x根的个数。

解析：令φ（x）=g（x）-x，即φ（x）=（x-1）2ex-x。因为φ'（x） =（x2-1）ex-1， 则φ''（x）=（x2+2x-1）ex。 当x＞1 时，φ''（x）＞0，即φ'（x）单 调 递 增，则φ'（x）＞φ'（1）=-1＜0。又φ'（2）=3e2-1＞0，故在区间（1，2）内必存在点x0，使得φ'（x0）=0，且x∈（1，x0）时，φ（x）单调递减，x∈（x0，+∞）时，φ（x）单调递增，故x=x0是φ（x）唯一的零点，即方程g（x）=x只有一个根。

反思：近几年的高考题中关于方程根的个数的判定几乎是必考题型，但是此类题型中对方程的求解几乎是高中生无法完成的任务。因此，学生在考虑该类问题时，可以优先考虑建立新的函数关系，再利用导数对原函数的增减性进行判定。这里要注意的是，当一阶导数的正负性无法直接判定时，可以利用二阶导数加以分析。

三、利用二阶导数求解函数中的参数值

翻阅近几年的高考题会发现，关于函数中参数值的求解，一直是高考的常考题型，但是随着高等数学思想的下放，此类题型的难度也在逐年升高。如今该类题型已经无法通过直接计算函数值来求解了，那么此时只能运用函数本身的性质进行判定。

反思：在该题中两次运用了导函数与原函数之间的关系，进行逆推分析出两者之间的关系，从而使原本复杂的题目变得简单易懂，其中二阶导数的计算与分析起到了至关重要的作用。

综上所述，学生在解决数学问题时合理运用二阶导数，不仅提供了更加广阔的解题思路，最重要的是帮助学生正确探知、理解了题目的内涵。学生在平时进行适当的相关练习，可以拓展思维、发散思维。