借助对称思想，优化几何问题求解

江苏省南通市海门实验学校 卞海新

高中数学几何问题不仅包含了数学的代数美，更容纳了数学的几何美，几何问题对称思想就是一种兼具美学和实用价值的解题方法，对称利用得巧、利用得妙，将使得问题解决又快又好。在平面解析几何问题中，对称问题就是其中一种十分常见又重要的问题。认真分析对称结构，掌握对称问题的解题技巧，可以很好地实现问题的解决。

一、求解参数取值

几何中会涉及一些轨迹方程中求解参数的问题，一般需要借助点的坐标，并将坐标代入求解。但当题意未直接告知点的坐标时，则需要借助题目信息进行分析、判断。

例1：已知圆C：x2+y2+2x+ay-3=0（a为任意实数），且任意属于该圆C的点关于直线l：x-y-2=0 的对称点均位于该圆上，试问a=_。

二、求解轨迹方程

轨迹方程是几何中一个十分重要的要素，通过轨迹方程可以判断曲线的类型和有关性质等内容，反过来，借助已知信息也可以求解轨迹的方程表达式。

反思：按照常规的解法，已知点P坐标，可以先设出过点P的弦的点斜式方程，并与椭圆方程联立，再结合中点坐标以及韦达定理和斜率等知识进行求解。思路很清晰，但在具体操作过程中，求解过程相对烦琐和复杂。

三、攻克最值问题

几何中的最值问题，可以借助函数的几何意义进行转化与求解，也可以将最值问题转化为切线问题。每种解决方法都有自己最佳的使用范围和条件，因此，当有对称性的几何中问题涉及最值时，不妨从对称的角度去思考。

例3：对于圆O：x2+y2=4，已知点P为该圆上的任一动点，假定动点P相对于x轴及y轴的距离之和为a，试求a的最大值。

反思：针对此类动点类问题，尤其是涉及圆形时，不妨尝试采用几何对称思想求解。以本题为例，构造直线l：y=x，得到点P的对称点，将距离和问题转化成直角梯形中线取值求解，取代学生首选的代数法求最值。

总之，把握对称思想的本质，挖掘题目中潜在的对称信息，借助对称的特性实现复杂问题简单化、烦琐问题极简化，出奇制胜，降低问题的难度，最终实现巧妙解题。因此，在解决几何问题中，将对称思想化成意识内容，以便在需要时迅速提取。