高中数学最值问题题型与解法微探

江苏省海门中学 曹 锋

一提起高中数学最为“眼熟”的试题类型，就肯定会想起“最值问题”。无论是考试还是平时练习，最值问题都会以不同的方式“为难”学生，让学生犹如“哑巴吃黄连”。高中数学教学通常以知识模块为基准，全面系统地讲解一种类型问题的课时很少，缺乏对最值问题的全面认识是学生失分的重要原因，因此教学需要高度重视。

一、巧解函数最值问题

函数的最值问题对于学生而言并不陌生，甚至是“家常便饭”的存在。在高中数学试题中，函数最值问题既能以填空题形式考查学生，也会在简答题中出现。不同类型函数的最值问题有相对应的解题思路和方法，掌握常见的解题方法是最基本的要求，也是提高解题能力的基础。

例1：已知函数f（x）=2x+2-3·4x，当x∈[-1，0]时，求函数f（x）的最大值和最小值。

思考：求不典型函数解析式的最值，首先要将其转化为熟悉的函数解析式，再进行求解。该题可以采取配方法，转变为二次函数解析式后进行求解。

二、细说数列最值问题

有关于数列的最值问题一般在解答题中“现身”，常见的形式有求解数列前n项和、数列最大或最小的项以及数列恒成立问题。面对数列最值问题的解答，不妨采取函数法或不等式法转化，以熟悉的方法进行求解。采取相应的方法进行解答时，要充分利用题目所给的条件。

例3：等差数列{an}中，已知a1＞0，前n项和为Sn，且S7=S13，求Sn最大时n的值。

思考：该题可以有多种解法，既可以用函数法求解，也可以从不等式角度解答，但要注意用不同方法进行解答时，思路和步骤都要有所改变。

解析：（函数法）

三、深究几何最值问题

平面几何、立体几何或是解析几何都与最值问题有着密切的联系，解答这些问题，除了要熟悉相关的知识内容，还要掌握一些常见的解题思想，如导数法、数形结合法，其中，数形结合思想应用广泛，应该得到学生的重视。

例4：已知正方体棱长为2，每条棱所在的直线与平面α所成的角都相等，以平面α截取正方体，所截得最大平面的面积为_。

思考：有关于几何问题的最值，大部分需要运用数形结合思想进行解答。求解该问题也要采取数形结合的方法，解题时不妨画出满足题意的立体几何图形，根据图画确定最大值问题，求出最值。

解析：如图所示，由ABCDEF围成的平面与正方体所有棱所成角相同，

总之，高中数学试题中的最值问题，可以与数列、几何以及函数等许多知识内容联系在一起，其考查形式五花八门，试题难度也参差不齐。但通过对这些问题的归纳总结可以发现，学生解答最值问题不仅要对这些题型十分熟悉，还要掌握常见的解题方法，养成把未知转化为已知的良好思维方式。