半结合3-代数的双模结构

白瑞蒲, 刘 山, 张 艳

(河北大学 数学与信息科学学院, 河北 保定 071002)

1 引言与预备知识

文献[1]定义了半结合3-代数, 并研究了其基本结构. 半结合3-代数(A,{,,})是具有三元线性运算{,,}:A⊗A⊗A→A的线性空间, 且满足∀xi∈A, 1≤i≤5, 有

(1)

{x1,{x2,x3,x4},x5}={x5,{x2,x3,x4},x1}+{x1,{x5,x3,x4},x2}.

(2)

因三元代数在数学及数学物理中应用广泛, 因此对其结构的研究备受关注[2-5]. 一般研究从熟知的代数结构中构造具有应用性质的三元代数, 或构造与3-李代数、 3-Pre-李代数及局部上循环3-李代数等有密切关系的三元代数[6-7]. 研究表明, 每个半结合3-代数都有其伴随3-李代数. 3-李代数(L,[,,])[8-9]是具有线性运算[,,]:L∧L∧L→L的线性空间L, 且满足∀xi∈L, 1≤i≤5, 有

[[x1,x2,x3],x4,x5]=[[x1,x4,x5],x2,x3]+[x1,[x2,x4,x5],x3]+[x1,x2,[x3,x4,x5]].

(3)

2 半结合3-代数的伴随3-李代数

[x1,x2,x3]={x1,x2,x3}+{x2,x3,x1}+{x3,x1,x2}, ∀x1,x2,x3∈A.

(4)

进一步, 如果I是半结合3-代数A的理想(子代数), 则I是伴随3-李代数Ac的理想(子代数).

证明: 由式(1),(2)可知, 乘法[,,]是完全交错的, 且∀xi∈A, 1≤i≤5, 有

所以式(3)成立, 从而(A,[,,])是3-李代数. 进一步, 如果I是半结合3-代数A的理想(子代数), 则直接计算可得结果. 证毕.

3-李代数(A,[,,])称为半结合3-代数A的伴随3-李代数, 简记为Ac. 下面讨论半结合3-李代数A的导子与伴随3-李代数的导子之间的关系.

设A是半结合3-代数,D:A→A是线性映射. 如果D满足

D{x1,x2,x3}={Dx1,x2,x3}+{x1,Dx2,x3}+{x1,x2,Dx3}, ∀x1,x2,x3∈A,

则称D是A的导子[1]. 记Der (A)是A的导子全体, Der(Ac)是伴随3-李代数Ac的导子代数. 直接计算可知Der(A)是一般线性李代数gl(A)的子代数.

对x1,x2∈A, 定义线性映射L(x1,x2),R(x1,x2):A×A→A,

L(x1,x2)(x)={x1,x2,x},R(x1,x2)(x)={x,x1,x2}, ∀x∈A,

L(x1,x2)和R(x1,x2)分别称为由x1,x2确定的左乘映射和右乘映射. 记

L(A)=〈L(x1,x2)|∀x1,x2∈A〉,

R(A)=〈R(x,x2)|∀x1,x2∈A〉.

由文献[1]可知,

L(x1,x2)∉Der(A),R(x1,x2)∉Der(A).

定理2设A是半结合3-代数, 则半结合3-代数A的导子代数Der(A)是Der(Ac)的子代数, 且L(A),R(A)⊆Der(Ac).

证明: 对任意D∈Der(A)及x,y,z∈A, 由式(4)有

D[x,y,z]=D({x,y,z}+{y,z,x}+{z,x,y})=[Dx,y,z]+[x,Dy,z]+[x,y,Dz],

所以D∈Der(Ac), 且Der(A)是Der(Ac)的子代数. 由式(1)～(4), ∀x,y,u,v,w∈A, 有

L(x,y)[u,v,w]=[L(x,y)(u),v,w]+[u,L(x,y)(v),w]+[u,v,L(x,y)(w)],

从而L(x,y)∈Der(Ac), 同理∀x,y∈A,R(x,y)∈Der(Ac). 证毕.

3 半结合3-代数的双模

设L是3-李代数,V是线性空间, 如果线性映射ρ:L∧L→gl(V)满足: ∀x1,x2,x3,x4∈L, 有

[ρ(x1,x2),ρ(x3,x4)]=ρ([x1,x2,x3],x4)+ρ(x3,[x1,x2,x4]),

(5)

ρ([x1,x2,x3],x4)=ρ(x1,x2)ρ(x3,x4)+ρ(x2,x3)ρ(x1,x4)+ρ(x3,x1)ρ(x2,x4),

(6)

则称(V,ρ)是3-李代数L-模.

设A是半结合3-代数,V是线性空间, 如果双线性映射l,r:A×A→End(V)满足: ∀x1,x2,x3,x4∈A, 有

(7)

r({x1,x2,x3},x4)=r(x1,{x2,x3,x4})=r(x1,x4)r(x2,x3),

(8)

r(x1,x2)r(x3,x4)=r(x2,x1)l(x3,x4)+r(x1,x3)l(x2,x4),

(9)

r({x1,x2,x3},x4)=l(x4,{x1,x2,x3})+r({x4,x2,x3},x1),

(10)

r(x1,x2)r(x3,x4)=r(x1,x2)l(x3,x4)=l(x1,x3)r(x4,x2)=-l(x1,{x3,x2,x4}),

(11)

则称(l,r,V)是半结合3-代数A的双模.

定理3设A是半结合3-代数,l,r:A×A→End(V)是线性映射, 则(l,r,V)是A的双模的充要条件是(AV,{,,}lr)是半结合3-代数, 其中∀xi∈A,vi∈V,i=1,2,3, 有

{x1+v1,x2+v2,x3+v3}lr={x1,x2,x3}+l(x1,x2)v3-r(x1,x3)v2+r(x2,x3)v1.

(12)

证明: 如果(l,r,V)是半结合3-代数A的双模, 则由式(8)～(10),(12)知, 对∀xi∈A,vi∈V, 1≤i≤5, 有

{x1+v1,x2+v2,x3+v3}lr=-{x2+v2,x1+v1,x3+v3}lr,

所以(AV,{,,}lr)是半结合3-代数. 反之, 如果(AV,{,,}lr)是半结合3-代数, 则由式(12)知, ∀xi∈A,vi∈V, 1≤i≤5, 有

{x1+v1,x2+v2,x3+v3}lr=-{x2+v2,x1+v1,x3+v3}lr,

{x1,x2,x3+v3}lr={x1,x2,x3}+l(x1,x2)v3,

{x2,x1,x3+v3}={x2,x1,x3}+l(x2,x1)v3,

所以

l(x1,x2)=-l(x2,x1),

从而式(7)成立. 利用式(1),(12), 有

分别取vi≠0,vj=0, 1≤i≠j≤5, 得

(13)

(14)

r(x1,x5)l(x2,x3)=l(x1,x2)r(x3,x5),

(15)

r(x1,x5)r(x2,x4)=r(x5,x1)r(x2,x4)+r(x1,x2)r(x5,x4),

(16)

r(x1,x5)l(x2,x3)=r(x5,x1)l(x2,x3)+r(x1,x2)l(x5,x3),

(17)

r(x1,x5)r(x3,x4)=r(x5,x1)r(x3,x4)-l(x1,{x5,x3,x4}),

(18)

r({x2,x3,x4},x5)=l(x5,{x2,x3,x4})+r({x5,x3,x4},x2),

(19)

l(x1,{x2,x3,x4})=r({x2,x3,x4},x1)-r(x1,x2)r(x3,x4).

(20)

由上述讨论可知： 由式(13)可得式(7); 由式(19)可得式(10); 式(16)等价于式(14),(15),(17); 式(20)等价于式(13),(14),(19); 由式(13)可得式(8)； 由式(14),(15),(17)可得式(9); 由式(14),(15),(17),(18)可得式(11). 所以(l,r,V)是半结合3-代数A的双模. 证毕.

定义线性映射τ:V∧V→V∧V, ∀x1,x2∈V,τ(x1,x2)=(x2,x1).

定理4设A是半结合3-代数,Ac是A的伴随3-李代数, (l,r,V)是半结合3-代数A的双模, 则(V,ρ)是伴随3-李代数Ac的模, 其中ρ=l-rτ+r.

证明: 由定理3和式(4)知, ∀x1,x2,x3∈A,v1,v2,v3∈V, 有

所以(V,ρ)是3-李代数Ac的模. 证毕.

定理5设A是半结合3-代数, 对∀x,y∈A,L(x,y)和R(x,y):A×A→A分别为左乘映射和右乘映射, 则(L,R,A)是半结合3-代数A的双模, 也称为A的伴随模.

证明： 应用定理3和定义1直接验证可得结论, 故略.

定理6设(l,r,V)是半结合3-代数A的双模, 则(l*,r*,V*)也是A的双模, 其中V*是V的对偶空间,l*,r*:A×A→End(V*)分别为l和r的对偶映射, 即∀x,y∈A,v∈V,ξ∈V*, 有

〈l*(x,y)(ξ),v〉=-〈ξ,l(x,y)(v)〉,

〈r*(x,y)(ξ),v〉=-〈ξ,r(x,y)(v)〉.

证明: 与定理 5的证明类似, 故略.

由定理5和定理6直接可得(L*,R*,A*)是半结合3-代数A的双模.

定义1设A是半结合3-代数, 如果线性映射θ:A⊗A⊗A→A*满足: ∀x,y,z,w,u∈A, 有

θ{x,y,z}=-θ{y,x,z},

θ{x,{y,z,w},u}=θ{x,y,{z,w,u}},

L*(x,y)θ{z,w,u}=-R*(x,u)θ{y,z,w},

则称θ是半结合3-代数A的循环映射.

定理7设A是半结合3-代数,θ:A⊗A⊗A→A*是A的循环映射, 则∀xi∈A,ξi∈A*, 1≤i≤3,B=AA*按下列运算构成半结合3-代数:

证明: 由式(7)～(11)及定理5知, 对任意xi∈A,ξi∈A*, 1≤i≤3, 有

综上可知(AA*,{,,}θ)是半结合3-代数. 证毕.