恒成立问题的方法探究与建议

陈伟丽

[摘  要] 恒成立问题属于综合性较强的经典问题，综合了数学的众多核心知识、思想方法，其解法也极为灵活，对学生的解题思维要求较高. 文章结合实例讲解恒成立问题的三种常用方法，并提出相应的教学建议.

[关键词] 恒成立;综合;分离变换;数形结合;差值比较

■问题综述

恒成立问题是高中数学的典型问题，该类问题常设定在给定条件下某些结论恒定成立，进而分析关联问题，如参数范围、实数最值、曲线相交点. 该类问题常涉及函数、不等式、方程、图像等知识，融合了换元、转化、分类讨论、数形结合、函数与方程等思想，对于学生的综合解题能力有着较高的要求. 从问题的知识与思想的综合视角分析，解析突破时主要有以下三个难点：一是问题条件隐晦，难以把握问题切入点;二是综合性强，难以处理关联知识;三是问题解题方法较多，难以准确选用方法来化简. 下面结合实例简单探讨恒成立问题常用的几种方法，构建相应的解题策略.

■方法探析

合理利用解题方法可以挖掘问题条件与结论之间的关联，从而打开解题突破口，构建解题思路. 对于恒成立问题，常用的解法有分离变换法、数形结合法、差值比较法，下面加以探究.

解法一：分离变换法

分离变换是求解恒成立问题常用的方法之一，可用于方程、不等式有解的恒成立问题中，在实际解析时可根据研究的对象进行合理分离，如分离参数、分离整式、分离函数等. 以分离参数为例，解析时首先根据不等式或等式性质将参数分离，将问题变为一边是参数，另一边是变量式的形式;然后求解变量式的最值，并根据其最值来推理参数范围或相应的结论.

例1：已知当m≤2时，不等式2x-1>m（x2-1）恒成立，试求x的取值范围.

解析：题干所涉不等式中含有参数m，解析时可以采用分离参数的方法，只讨论x2-1即可. 分析可知x2-1的符号将直接影响不等式成立的条件，因此需分三种情形加以讨论，具体如下.

①当x2-1>0时，可将不等式变形为■>m，要确保不等式恒成立，只需■>2，可解得1

②当x2-1=0时，可将不等式简化为2x-1>0，从而可解得x=1;

③当x2-1<0时，可将不等式变形为■

综上可知，x的取值范围为■，■.

解法点睛：上述求解不等式恒成立问题时，采用了分类讨论与分离参数相结合的方式，针对数式符号来讨论x的取值. 分离参数法常与其他思想方法结合起来解析问题，除了上述的分类思想外，还包括函数与方程思想.

解法二：数形结合

利用数形结合方法求解恒成立问题的核心是数形对照、数形转换，该方法在求解函数不等式问题时有着良好的解析效果. 求解时常结合不等将其转化为两个函数图像的位置关系，绘制相应的图像曲线，然后通过函数图像、性质分析来推导结论. 而在构建函数时需要注意一定的方法技巧，可以适度移项来构建简洁的函数.

例2：已知f（x）=（x-2）lnx-ax+1，试回答下列问题.

（1）若f（x）在区间（1，+∞）上单调递增，试求实数a的取值范围;

（2）如果存在唯一的整数x■，使得f（x■）<0恒成立，试求实数a的取值范围.

解析：（1）结合f（x）的导函数，利用函数性质即可确定a的取值. 要使f（x）在（1，+∞）上单调递增，只需f′（x）=lnx+1-■-a≥0，即lnx+1-■≥a在（1，+∞）上恒成立. 令y=lnx+1-■，易知该函数在（1，+∞）上函数单调递增，则只需a≤ymin即可. 当x=1时，y可取得最小值，ymin=-1，所以实数a的取值范围为（-∞，-1].

（2）结合函数解析式可知，不等式f（x■）<0，即（x■-2）lnx■0），h（x）=ax-1，显然g（x）的图像为曲线，h（x）图像为一条直线.

则g′（x）=lnx+1-■，g′（x）在（0，+∞）上单调递增，可知g′（1）=-1<0，g′（2）=ln2>0，因此存在实数m∈（1，2），使得g′（m）=0. 当x∈（0，m）时，g′（x）<0，g（x）在（0，m）上单调递减;当x∈（m，+∞）时，g′（x）>0，g（x）在（m，+∞）上单调递增;所以g（x）的最小值为g（m），其中g（1）=g（2）=0.

h（x）的图像恒过定点（0，-1），显然a>0，图像关系大致如图1所示. 分析可知，若存在唯一的整数x■，使得f（x■）<0恒成立，则需kBC0，所以kAC>kDC. 因为kBC=■，所以■

解法点睛：数形结合方法最为显著的优势是图像直观，可以显著降低思维难度. 其解法核心是移项变形、构造函数、性质解析，其中所构函数的简易将直接影响到后续图像绘制，而性质解析则主要利用函数的单调性、值域.

解法三：函数差值法

函数差值法的核心是作差、建函数，即对于不等式恒成立问题，可以通过移项作差的方式来构建函数，利用函数性质求解. 该方法尤其适用于f（x）>g（x）的问题，通过作差可将其转化为f（x）-g（x）>0的形式，后续则可以据此构建新函数.

例3：已知函数f（x）=■x3-x2+x.

（1）求曲线y=f（x）的斜率为1的切线方程;