在问题解决中培养学生的核心素养

张建军

[摘  要] 在问题解决过程中所培养的能力，体现为解决问题的综合能力. 解决问题的能力具有综合性，涵盖数学分析、计算、思维、求解等诸多内容，同时，解决问题的过程对学生的洞察力、思维力、计算能力、想象力也提出更高要求. 一般认为，问题解决能力属于核心素养中的关键能力，因此问题解决的过程就是核心素养培育的过程.

[关键詞] 高中数学;问题解决;核心素养

在数学学习中，问题解决是重要任务. 问题解决的过程，主要就是围绕数学知识点，延伸相关联的问题，让学生运用数学思维、数学思想方法去解决问题的过程. 在问题解决过程中所培养的能力，体现为解决问题的综合能力. 研究表明，解决问题的能力具有综合性，涵盖数学分析、计算、思维、求解等诸多内容，同时，解决问题的过程对学生的洞察力、思维力、计算能力、想象力也提出更高要求. 一般认为，问题解决能力属于核心素养中的关键能力，因此问题解决的过程就是核心素养培育的过程.

从问题解决中发展解决问题的能力，进而培养核心素养，对此笔者提出这样几点建议.

■挖掘问题中的“黄金信息”，培养逻辑推理素养

逻辑推理是数学学科核心素养的重要组成部分，问题解决离不开逻辑推理. 问题解决主要是针对数学知识掌握与运用而进行的，强调学生从练习中来增进理解，并使逻辑推理能力得到培养. 基础知识点在表现上形式多样，内容广泛，对于问题教学，教师要注重对基础知识点的梳理，要让学生认识到解决问题能力不是一味地推理甚至是计算，关键应当在于通过逻辑推理，来增进学生对基础数学知识点的理解和掌握程度. 同时，问题解决教学中教师要着重知识点的应用，引导学生厘清解决问题的思路，发现解决问题的规律.

如概念型问题，不同题型的问题解决. 这些问题组合，可以深化学生对相关知识点的认识，借助问题解决，由简到繁、由易到难来渗透逻辑推理方法，突出学生数学逻辑思维及创新意识的形成.

例如，某△ABC中，角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且A=60°，a=7，cosC=■，求边b. 对于该题，在求解思路上，有学生这样求解. 先通过cosC=■，推导出sinC=■，根据正弦定理■=■，推导出c=8. 再根据余弦定理，a2=b2+c2-2bccosA，得出b2-8b+15=0，求解后得到b=3或b=5两种情况.

从解法上看，该法较为简便，但细细观察却发现解法有错. 根据题意，三角形两个角、一边已知，三角形就已确定，因此该题应该只有一个解. 分析该题的解法，深化学生对余弦定理的运用. 从该题条件来看，已知两边与一边对角，很多学生忽视了角C也为已知，从而影响解决问题的思维.

如此，通过挖掘问题解决中的易错点，让学生全方位认识解决问题的关键所在，把握解决问题的思想和方法，在推理过程中培养了学生的逻辑推理能力，这直指数学学科核心素养的逻辑推理要素.

■注重问题变式训练，培养学生的数学建模素养

在平时的问题解决中，强调“题海战术”显然是不可取的. 由于教学时间有限，对于题型的变化，很难做到面面俱到. 因此，教师要善于整合数学资源，围绕问题解决，展开“一题多变”训练，让学生从解决问题中找到规律，能够从变式训练中理解数学知识点，真正掌握解决问题的奥妙. 如可通过变换题型的条件、结论或者其他内容等，以此创设不同的问题类型，增进学生对数学本质的理解，这有助于赋予学生巨大的思维空间，从而促进学生通过建模过程来强化对数学模型的认识.

例如这样一个问题：方程mx2-（2m+1）x+m=0有两个不等的实数解，问m为何值？对于该题，方程有两个不等的实根，则推断出Δ>0，即（2m+1）2-4m2>0，且满足m≠0. 如果我们对该题稍加变换，就可以实现一题多变，便于学生从不同变式训练中强化对细节问题的思考与把握. 如：当m为何值时，方程mx2-（2m+1）·x+m=0有实数解？由此，对于该方程，需要分析二次项系数、一次项系数，运用分类讨论思想，辨析该方程为一元二次方程还是一元一次方程. 同样，可将该方程转换为不等式，当m为何值时，不等式mx2-（2m+1）x+m>0恒成立？或者不等式mx2-（2m+1）x+m<0恒成立？

实践表明，对于不等式问题，结合分类讨论、函数与方程、数形结合等思想，探析不同的解决问题方法. 这种一题多变训练，实际上是结合条件、结论、题型内容进行适当变换，来发散学生的数学思维，来深化对不同数学本质问题的理解和应用. 一旦达到这样的程度，意味着学生大脑中的数学模型不断丰满，从而也就起到了培养数学建模能力的作用.

■梳理一题多解方法，培养学生数学学习品质

在数学问题解决中，一些试题在设计上存在多种解法的情况. 教师要善于梳理这些“一题多解”的问题类型，寻找不同的解决问题方法，并在不同解法运用中关注学生的问题反思，总结求解规律. 通常，一题多解问题，反映出学生能否熟练做到融会贯通，这是培养学生学习品质的重要途径.

例如“正弦定理”是高中数学的重要内容，在求证“正弦定理”时，我们可以引导学生选择向量法、外接圆法等来证明“正弦定理”，还可以利用三角形的高、三角形的面积公式等来证明. 如S△ABC=■absinC=■acsinB=■bcsinA. 分析这些不同解法，我们有如下启发：虽然能从不同角度来证明“正弦定理”，但梳理其共同点发现，这些方法都建立在“直角三角形”的基础上. 分析一题多解，教师要引领学生把握解决问题的重心，探析不同问题解决的教学价值，促进学生养成反思习惯. 如在△ABC中，角A，B的对应边为a，b，且A=60°，a=■，b=2，求角B. 对该题的解法一，可以直接利用正弦定理，■=■，推导出sinB=■，即角B为45°或135°. 考虑到三角形内角和为180°，显然，角B=135°不符合题意，故角B为45°. 该解法更符合学生认知习惯. 除此之外，还可以根据题设，a>b，得出A>B，即B为锐角. 该解法突破了常规思维，巧妙地利用几何知识，先判断角的大小关系，再运用正弦定理求解. 由此，通过学习反思，增进学生深入了解数学原理，强化数学思维的内化，提升了学生的数学学习品质，发展了关键能力，核心素养也得到了培养.

总之，在高中数学学习中，问题解决的成效是决定学生数学成绩的关键. 教师要依托问题解决，激发学生的学习兴趣，并在此过程中着力培养学生的数学学科核心素养.