培元固本：弄清数学抽象的基本内涵

杨理想

[摘  要] 在高中数学学科核心素养的六个要素中，数学抽象是第一要素，要对数学抽象培元固本，就必须真正弄清数学抽象的基本内涵. 数学抽象的过程是认识现实世界本质的过程，数学抽象的结果是以抽象的形式反映客观世界. 数学抽象远不是将形象的物体转换为形（或以数述形）那么简单，其背后有丰富的数学思想方法与思维活动作为支撑.

[关键词] 高中数学;核心素养;数学抽象;教学理解

在致力于培育学生数学学科核心素养的时候，教师需要思考一些根本的问题，如对数学学科核心素养中的六个要素是不是有准确的理解. 一个基本的逻辑是，如果对核心素养要素理解不准确，那数学学科核心素养乃至于核心素养的培育，就是一句空话. 从这个角度来看，理解核心素养要素的过程，就是一个培元固本的过程. 在高中数学学科核心素养的六个要素中，数学抽象是第一要素，而且在高中数学教学的传统中，对数学抽象本来就有着高度的重视，但对于相当多的一线教师而言，数学抽象并不是一个非常熟悉的概念，甚至很多时候只是经验性的理解，甚至只是望文生义式的理解，显然这样的理解是不够的，要对数学抽象培元固本，就必须真正弄清数学抽象的基本内涵.

■核心素养培育需要怎样的数学抽象理解

在核心素养的视角之下，理解数学学科核心素养，常常认为数学核心素养是具有数学基本特征且能够适应个人（学生）终身发展和社會发展需要的必备品格与关键能力，是数学课程目标的集中体现. 而数学抽象位居六个数学核心素养之首，史宁中教授给出的观点是：数学在本质上研究的是抽象的东西，数学的发展所依赖的最重要的基本思想也就是抽象. 显然，学生的数学学习过程，本质上是用自己的思维加工数学研究对象的过程，而数学研究对象又是数学抽象的结果，所以理解数学抽象的内涵，其实就是数学学习的前提. 笔者在参考了相关理论文献的基础上，对数学抽象的内涵提出如下两点理解：

第一，数学抽象的过程是认识现实世界本质的过程. “一切科学的抽象，都更深刻、更正确、更完整地反映着自然”（列宁语），在高中数学教学中，学生的学习对象更多的是抽象之后的数与形，其中“数”又常常被用来描述“形”. 学生在数学学习过程中，由于学习的对象是已经抽象后的对象，因而学生学习起来就感觉比较困难，但这样的认识确实容易让学生陷入一种认识误区，即无法认识到数学学习的过程是建立在数学抽象的基础之上的，从而也就无法体验一个认识世界本质的过程.

第二，数学抽象的结果是以抽象的形式反映客观世界. 相比较于传统的数学学习而言，数学抽象所追求的是用抽象的结果反映客观世界，而这样一个过程，对于高中学生而言是相对陌生的，因为在应试形态下，高中生所理解的数学学习过程就是学习数学知识并利用数学知识去解题，这样的过程自然不能反映数学抽象的过程，自然也不能反映数学学习的本质. 而在教学中承认数学抽象的结果是以抽象的形式反映客观世界，实际上还有另外一层含义，那就是数学与现实世界的关系是十分密切的，数学是反映现实世界的重要方式.

以上两点理解，分别从过程与结果角度阐述了数学抽象的理解，虽然这样的理解偏理论，而且显得比较学术化，但笔者以为，要想超越经验化的理解，就必须站在一定的理论高度，真正洞察数学抽象所描述的现实与数学的关系. 而高中生的数学学习，显然需要建立在这一认识的基础之上.

■数学抽象素养要素的落地如何得到实现

在上述理解基础之上，教师要思考的一个基本问题，自然就是数学抽象这一素养要素如何落地. 教师的任务是教学，很多时候教师的第一反应就是教师通过自己的“教”去落实核心素养. 但是有研究者指出：素养是无法教的！因此在一线教学实践中教师该如何真正落实数学核心素养，是每个数学教师都应该思考的问题. 对这个观点，笔者的认识是这确实是一个问题，而素养尤其是核心素养作为学生成长的长远目标，未必能够在教师即时的课堂上“教”出来，但这并不意味着教师就应该无所作为，相反，素养作为学生在学习过程中的一种积淀，恰恰需要教师进行有效的设计，这样才能让学生有所吸收，有所沉淀. 相应的，也有研究者提出可从理解核心素养背景下的数学抽象概念、发掘核心素养背景下数学抽象的内涵、在数学抽象的三个阶段中培养学生的数学抽象能力等角度来进行. 可以来看一个例子：

在“圆与圆的位置关系”的教学中，站在学生的角度分析知识的建构过程，可以发现教师如下选择：直接基于逻辑去建构圆与圆的位置关系，其主要的依据就是两个圆的半径之和（r1+r2），与两个圆的圆心之间的距离d的关系. 由于这两者关系之间的逻辑性，所以学生可以通过逻辑推理建构出圆与圆的位置关系. 但教学中笔者发现，部分学生在理解这一关系的时候会出现障碍，而究其原因是学生大脑中的表象并不清晰，由于没有一个形象的表象作为支撑，故学生思维加工的对象也就不会清晰，这自然会对后续的学习产生影响. 为了帮学生建立这一表象，教师就可以为学生设计一个数学抽象的学习过程. 考虑到高中学生的经验基础，这个数学抽象的出发点不一定是生活中的圆，而可以是学生大脑中对圆与圆的位置关系的认识.

笔者是这样设计的：首先让学生在草稿纸上任意画出两个圆，在此过程中教师巡查并且对学生的画图结果进行分类，然后借助于现代教学手段进行呈现. 如果不出意外，学生画得最多的是两圆相离的情形，少有两圆相交的情形，另外两圆内切或外切的情形则比较少见甚至没有. 这个时候教师就可以进一步提出问题：两个圆除了已经呈现出的位置关系之外，还有没有其他的位置关系了？

根据笔者的教学经验，这个时候相当一部分学生的第一反应仍然是看自己在草稿纸上画的图，或者在草稿纸上再次进行画图. 这一事实再次表明，学生在学习这一知识的时候，仍然是需要表象作为支撑的. 而表象来自学生的认知基础与生活经验，让学生画图，实际上就是让学生将自己生活经验中的与圆的位置有关的经验提取出来，这样学生的大脑当中就可以进行一个比较纯粹的数学抽象过程. 这个抽象不是将实物圆变成数学意义上的圆，而是将自己大脑当中与圆的位置有关的认知经验，变成可以用“两个圆的半径之和与两个圆的圆心之间的距离的关系”来描述的对象.

这一点在教学当中不需要明确阐述，只要学生进入数学抽象的过程即可. 事实证明，通过上述教学过程，学生大脑当中可以清晰地建立起圆与圆的5种位置关系，而且他们会对这5种关系进行排序，排序的依据就是“两个圆的半径之和与两个圆的圆心之间的距离的关系”（由大至小，或者由小变大）. 这样的教学过程历时不到十分钟，但是学生大脑中的圆与圆的5种位置关系及其表达却变得非常清晰，这说明数学抽象的过程是有效的.

■作为科学方法与思维活动的数学抽象素养

分析上面这样一个教学过程，可以发现在研究圆与圆的位置关系的时候，较好地体现了数学与生活的一面，也就是数学抽象所强调的数学是描述世界本质的. 同时在教学中还应当注意到，在数学学科的视野里，抽象还是形成概念及其规律的必要手段，而且抽象是人类认识世界的一种科学方法和思维活动.

从科学方法与思维活动的角度来理解数学抽象，其实也是符合数学学科核心素养的界定的. 核心素养原本强调的就是必备品格与关键能力，数学抽象更多的指向关键能力. 能力是什么？能力不是一个空洞的概念，能力往往体现在人的学习与生活当中，尤其是生活中的问题解决. 良好的问题解决，总是以科学方法与高效的思维活动作为支撑的，当数学运用于生活的时候，当学生运用数学知识去解决问题，尤其是生活问题的时候，学生要做的第一件事情就是将生活对象进行抽象，以使其变成一个数学问题. 而对生活对象进行数学抽象，就必须建立在科学方法与思维活动的基础之上.

高中数学当中有很多这样的情形，例如平面解析几何的学习，无论是研究直线与方程的关系，还是研究圆与方程的关系，又或者更细致一点“研究直线的斜率”，看起来是一个简单的知识，但是这一知识原本却是诞生于生活中描述直线倾斜程度的需要——很多生活情形可以抽象为这一需要. 所以站在这个角度去理解数学抽象，就可以发现数学抽象远不是将形象的物体转换为形（或以数述形）那么简单，其背后有丰富的数学思想方法与思维活动作为支撑，认识到这一事实，在高中数学教学中往往可以设计出更加符合学生认知需要与数学课程目标需要的流程，从而为核心素养的落地提供可靠的保证.